高考数学复习点拨 运用类比法学习数量积VIP免费

运用类比法学习数量积平面向量的数量积是具有特殊规定的乘法，通过它与向量加法、减法、数乘运算和实数运算以及物理学中功的类比，可以加深我们对向量数量积的理解．1．向量的加法、减法、数乘运算无论采用几何运算还是代数运算，它们的结果仍是一个向量，而向量的数量积的结果是一个实数值，可正，可负，也可为零.两向量的数量积定义为cosabab·，符号“ab·”中的“·”符号，既不能省略，也不能换为“”号．为两非零向量的夹角，且0π≤≤，,ab有公共的起点，在这个规定下，两向量的夹角被唯一确定．由cosabab·可知：cosabab·，因此，两非零向量ab·的夹角的余弦值等于与ab·方向分别相同的两个单位向量的数量积，它与向量的长度无关．规定零向量与任一向量垂直，因此，a0·0．2．向量的数量积ab·与实数，ab的乘积既有区别又有联系．正确区分两者，关键是以公式cosabab·为依据．相同点：向量的数量积与实数的乘积均满足交换律和分配律；两个向量ab，与两个实数，ab都适合以下关系式：222()2xyxxyy；22()()xyxyxy；xyxyxy≤≤．不同点：（1）从“形”和“数”两方面看，数量积cosabab·的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在该向量所在直线上的投影；从坐标形式看，如设a11()xy，，b22()xy，，则ab·1212xxyy．（2）向量的数积不满足结合律，即()abc·不一定等于()abc·，ab·与bc·都是实数，便c与a不一定共线．而实数运算满足结合律()()abcabc．（3）0·ab并不能导出a0或b0，可导出如下四种可能：①ab00，；②ab00，；③a0且b0；④a0且b0，因为ab时，0ab·，即0ab·a0或b0或ab．而00aba或0b．（4）·≤abab，而abab．（5）abac··且a0不一定有bc．因为由abac··且a0可得到()abc0()a0，只要()abc就符合题意，并不一定有bc．而实数运算中abac且0abc．3．从物理学角度看，向量的数量积是从力做功抽象出来的.通过力的做功情况看：（１）若力增大n倍，则功也增大n倍，于是有()()abab··；两个力在同一物体上所做的功的和等于合力所做的功，于是有分配律()···acbcabc．用心爱心专心