江苏省高考数学二轮复习 专题七 随机变量、空间向量（理）7.2 运用空间向量求角达标训练（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

运用空间向量求角A组——大题保分练1．(2018·南京学情调研)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1.(1)若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；(2)求二面角BPDA的余弦值．解：(1)以{AB，AD，AP}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为AP＝AB＝AD＝1，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．设C(1，y,0)，则PB＝(1,0，－1)，CD＝(－1,1－y,0)．因为直线PB与CD所成角大小为，所以|cos〈PB，CD〉|＝＝，即＝，解得y＝2或y＝0(舍)，所以C(1,2,0)，所以BC的长为2.(2)设平面PBD的法向量为n1＝(x，y，z)．因为PB＝(1,0，－1)，PD＝(0,1，－1)，则即令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n1＝(1,1,1)．因为平面PAD的一个法向量为n2＝(1,0,0)，所以cos〈n1，n2〉＝＝，所以由图可知二面角BPDA的余弦值为.2．(2018·苏北四市期末)在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1C1的中点，以{FA，FB，FG→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值；(2)求二面角FBC1C的余弦值．解：(1)因为AB＝1，AA1＝2，则F(0,0,0)，A，C，B，E，A1，C1，所以AC＝(－1,0,0)，BE＝.记异面直线AC和BE所成角为α，则cosα＝|cos〈AC，BE〉|＝＝，所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.(2)设平面BFC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)．因为FB＝，FC1＝，则即取x1＝4，得平面BFC1的一个法向量为m＝(4,0,1)．设平面BCC1的法向量为n＝(x2，y2，z2)．因为CB＝，CC1＝(0,0,2)，则即取x2＝，得平面BCC1的一个法向量为n＝(，－1,0)，所以cos〈m，n〉＝＝.根据图形可知二面角FBC1C为锐二面角，所以二面角FBC1C的余弦值为.3．(2018·南京、盐城二模)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，A1C的中点．(1)求异面直线EF，AD所成角的余弦值；(2)点M在线段A1D上，＝λ.若CM∥平面AEF，求实数λ的值．解：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A⊥平面ABCD.又AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则△ABC是等边三角形．因为E是BC的中点，所以BC⊥AE.因为BC∥AD，所以AE⊥AD.故以A为原点，AE，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,0)，E(，0,0)，C(，1,0)，D(0，2,0)，A1(0,0,2)，F.(1)因为AD＝(0,2,0)，EF＝，所以cos〈AD，EF〉＝＝，所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为.(2)设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且＝λ，即A1M＝λA1D，则(x，y，z－2)＝λ(0,2，－2)．解得M(0,2λ，2－2λ)，CM＝(－，2λ－1,2－2λ)．设平面AEF的法向量为n＝(x0，y0，z0)．因为AE＝(，0,0)，AF＝，所以即令y0＝2，得z0＝－1，所以平面AEF的一个法向量为n＝(0,2，－1)．由于CM∥平面AEF，则n·CM＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝.4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB＝AC＝1，AA1＝2，点P是棱BB1上一点，满足BP＝λBB1(0≤λ≤1)．(1)若λ＝，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；(2)若二面角PA1CB的正弦值为，求λ的值．解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为AB＝AC＝1，AA1＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，P(1，0,2λ)．(1)由λ＝得，CP＝，A1B＝(1,0，－2)，A1C＝(0,1，－2)．设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由得不妨取z1＝1，则x1＝y1＝2，从而平面A1BC的一个法向量为n1＝(2,2,1)．设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，所以直线PC与平面A1BC所成角的正弦值为.(2)设平面PA1C的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，又A1P＝(1,0,2λ－2)，故由得不妨取z2＝1，则x2＝2－2λ，y2＝2，所以平面PA1C的一个法向量为n2＝(2－2λ，2,1)．则cos〈n1，n2〉＝，又二面角PA1CB的正弦值为，所以＝，化简得λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝1或λ＝－9(舍去)，故λ的值为1.B组——大题增分练1．(2018·镇江期末)如图，AC⊥BC，O为AB中点，且DC⊥平面ABC，DC∥BE.已知AC＝BC...