板块命题点专练（十三）命题点一椭圆命题指数：☆☆☆☆☆难度：高、中题型：选择题、填空题、解答题1．(2015·广东高考)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A．2B．3C．4D．9解析：选B由左焦点为F1(－4,0)知c＝4．又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3．又m＞0，故m＝3．2．(2016·全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A．B．C．D．解析：选A如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．设E(0，m)，由PF∥OE，得＝，则|MF|＝．①又由OE∥MF，得＝，则|MF|＝．②由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝．故选A．3．(2016·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A．B．C．D．解析：选B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0．由题意知＝×2b，解得＝，即e＝．故选B．4．(2015·浙江高考)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M．由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ．又O为线段F1F的中点，∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|．在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，可解得|OM|＝，|MF|＝，故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝．由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，整理得b＝c，∴a＝＝c，故e＝＝．答案：5．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意得＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4．所以C的方程为＋＝1．(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0．故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝．于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－．所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．命题点二双曲线命题指数：☆☆☆☆难度：中题型：选择题、填空题1．(2016·全国乙卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，)C．(0,3)D．(0，)解析：选A由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴点M的坐标为． 点M在双曲线上，∴－＝1，解得a＝b，∴c＝a，e＝＝．故选D．3．(2016·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为()A．B．C．D．2解析：选A法一：作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝．故选A．法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝．又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝．4．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一： 双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)． 双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1．法二： 渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知条件可得解得∴双曲线的标准方程为－y2＝1．答案：－y2＝15．(2016·北京高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)...
