课时作业36平面与平面垂直的判定时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(C)A．有1个B．有2个C．有无数个D．不存在解析：经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个，故选C.2．已知二面角αlβ的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(B)A．30°B．60°C．90°D．120°解析：m，n所成的角等于二面角αlβ的平面角(或其补角)．3．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是(C)A．平面ABCDB．平面PBCC．平面PADD．平面PBC解析：由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，从而有CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.4．(多选)如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，以下四个命题正确的是(BD)A．PA∥平面MOBB．MO∥平面PACC．OC⊥平面PACD．平面PAC⊥平面PBC解析：因为PA⊂平面MOB，故A错误；因为OM是△PAB的中位线，所以OM∥PA，又OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以OM∥平面PAC，故B正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，故C错误；又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故D正确．5.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角PBCA的大小为(C)A．60°B．30°C．45°D．15°解析：由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角PBCA的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.6.如图所示，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是(C)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC，BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.故选C.二、填空题7．如图，在三棱锥SABC中，AC⊥平面SBC，已知SC＝a，BC＝a，SB＝2a，则二面角SACB的大小为90°.解析：因为AC⊥平面SBC，SC，BC⊂平面SBC，∴AC⊥SC，AC⊥BC，则∠SCB即为二面角SACB的平面角．又SC＝a，BC＝a，SB＝2a，所以SB2＝SC2＋BC2，故△SCB为直角三角形，∴∠SCB＝90°.∴二面角SACB的大小为90°.8．如图，在四面体PABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面②⑤(或①⑤或①②)．(只填序号，只填一组即可)①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；⑤平面POC.解析：因为四面体PABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点，所以CO⊥AB，PO⊥AB，CO∩PO＝O，所以AB⊥平面POC，因为AB⊂平面ABC，AB⊂平面PAB，所以平面POC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面POC，因为△ABC为等腰直角三角形，PA＝PB＝PC，所以PC2＝PA2＝PO2＋OA2＝PO2＋OC2，所以PO⊥OC，又PO⊥AB，OC∩AB＝O，所以PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，所以两个相互垂直的平面为②⑤或①⑤或①②.9．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角BADC的平面角为∠BDC，其大小为60°.解析：由已知得，BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角BADC的平面角，其大小为60°.三、解答题10.如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC.证明： PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.11.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.(1)求证：平面PAD⊥平面PAB；(2)若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．解：(1)证明：...
