第6节三角函数的图象与性质考试要求1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2kπ－π，2kπ]递减区间[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)对称轴方程x＝kπ＋x＝kπ无[常用结论与易错提醒]1.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期.而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)由sin＝sin知，是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期.()(2)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴.()(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数.()(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(5)y＝sin|x|是偶函数.()解析(1)函数y＝sinx的周期是2kπ(k∈Z).(2)余弦函数y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.(3)正切函数y＝tanx在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(4)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2.关于周期函数，下列说法错误的是()A.函数f(x)＝sin不是周期函数B.函数f(x)＝sin不是周期函数C.函数f(x)＝sin|x|不是周期函数D.函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期为π解析f(x)＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期为.答案D3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.故选B.答案B4.若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝()A.B.C.D.解析由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0，2π]，所以φ＝.答案C5.(必修4P47B2改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________.解析因为y＝tanx的单调递增区间为(k∈Z)，所以由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，得＋＜x＜＋(k∈Z)，所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z).答案(k∈Z)6.设函数f(x)＝2sin(ω>0，x∈R)，最小正周期T＝π，则实数ω＝________，函数f(x)的图象的对称中心为________.解析由T＝＝π，∴ω＝2，f(x)＝2sin，令2sin＝0，得2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)，对称中心为(k∈Z).答案2(k∈Z)考点一三角函数的定义域及三角不等式【例1】(1)函数f(x)＝－2tan的定义域是()A.B.C.D.(2)不等式＋2cosx≥0的解集是________.(3)函数f(x)＝＋log2(2sinx－1)的定义域是________.解析(1)由正切函数的定义域得2x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋(k∈Z)，故选D.(2)由＋2cosx≥0，得cosx≥－，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cosx≥－的解集为，故原不等式的解集为.(3)由题意得由①得－8≤x≤8，由②得sinx>，由正弦曲线得＋2kπ
