专题15基本不等式一、基础过关题1.（2018高考天津卷）已知a，，且，则的最小值为______．【答案】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值考查计算能力．2．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A．a＋b≥2B.ab＋ba≥2C．|ab＋ba|≥2D．a2＋b2>2ab【答案】C【解析】因为ab和ba同号，所以|ab＋ba|＝|ab|＋|ba|≥2.3．下列不等式一定成立的是()A．lg(x2＋14)>lgx(x>0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋1>1(x∈R)【答案】C【解析】当x>0时，x2＋14≥2·x·12＝x，所以lg(x2＋14)≥lgx(x>0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有1x2＋1＝1，故选项D不正确．4．当x>0时，函数f(x)＝2xx2＋1有()A．最小值1B．最大值1C．最小值2D．最大值2【答案】B【解析】f(x)＝2xx2＋1＝1x≤22＝1，当且仅当x＝1时取等号．5．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72B．4C.92D．5【答案】C6．(2016·平顶山至阳中学期中)若函数f(x)＝x＋1x－2(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋B．1＋C．3D．4【答案】C【解析】当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥21x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.7．已知x>0，y>0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为()A.22B．2C.D．2【答案】D8．(2016·潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则a2b＋1的取值范围是________．【答案】(0，＋∞)【解析】 x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，∴d＝|b＋1＋a|2＝，∴a＋b＋1＝2，即a＋b＝1，∴a2b＋1＝1－b2b＋1＝b＋1＋4b＋1＝(b＋1)＋4b＋1－4≥2－4＝0.又 a，b为正实数，∴a2b＋1的取值范围是(0，＋∞)．9．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为________．【答案】4【解析】由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，∴a＋b＝1， a>0，b>0，∴1a＋1b＝1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ab＝4，当且仅当a＝b＝12时，等号成立．10（2018高考江苏卷）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为______．【答案】9根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．11．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．【答案】(1)最大值为1；(2)1x＋1y的最小值为1020.【解析】(1) x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. 2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有2x＋5y＝20，2x＝5y，解得x＝5，y＝2，此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2) x>0，y>0，∴1x＋1y＝1y·2x＋5y20＝1202xy≥1202xy＝1020，当且仅当5yx＝2xy时，等号成立．由2x，解得10∴1x＋1y的最小值为1020.12．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋1t，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．【答案】(1)W(t)＝；(2)所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝44323，所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．二、能力提高题1.(2016·吉林九校第二次联考)若正数a，b满足1a＋1b＝1，则1a－1＋9b－1的最小值是()A．1B．6C．9D．16【答案】B【解析】 正数a，b满足1a＋1b＝1，∴b＝aa－1>0，解得a>1.同理可得b>1，所以1a－1＋9b－1＝1a－1＋a－1＝1a－1＋9(a－1)≥21a－1＝6，当且仅当1a－1＝9(a－1)，即a＝43时等号成立，所以最小值为6.故选B.2．(2016·唐山一模)已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________．【答案...
