第5节三角函数的化简与求值考试要求掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.知识梳理1.三角变换三角变换是重要的代数式变形，变形过程中，不仅需要熟练把握各种三角公式，还需要有一种处理复杂代数式的能力，更需要有一种化归的意识.2.三角恒等变换中常用的方法技巧(1)角的变换：在化简、求值、证明中，表达式中往往会出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，缩小条件与结构中角的差异，使问题获解，此时需熟悉倍角与半角的相对性及角的拆并，变换的技巧，如是的半角，是的二倍角，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β等.(2)函数名称的变换：在三角函数中，正弦函数、余弦函数是基础，在变形中，通常化切为弦，变异名为同名.(3)常数代换：在三角函数的运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数和或积等形式，例如常数“1”的代换变形为：1＝sin2α＋cos2α＝tan45°＝sin90°.(4)幂的变换：升幂和降幂是三角变换中常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法.(5)公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式及其逆用和变形应用.例如sinαcosα＝sin2α，tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)等.[常用结论与易错提醒](1)辅助角公式：asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋φ)，其中角φ所在象限由a，b的符号确定，且tanφ＝.(2)(选用)万能公式：sinθ＝，cosθ＝，tanθ＝.(3)(选用)三倍角公式：sin3θ＝3sinθ－4sin3θ，cos3θ＝4cos3θ－3cosθ，tan3θ＝.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)＝tan.()(2)在半角公式：sin＝±，cos＝±，tan＝±中，符号由所在象限决定.()(3)tan＝＝.()(4)cosα＋sinα＝cos(60°＋α).()解析cosα＋sinα＝cos60°cosα＋sin60°sinα＝cos(60°－α)，(4)不正确.答案(1)√(2)√(3)√(4)×2.的值是()A.sin40°B.cos40°C.cos130°D.±cos50°解析原式＝＝|cos130°|＝cos50°＝sin40°.答案A3.若cosα＝，且α∈[0，π]，则cos＋sin的值是()A.B.C.D.解析 α∈[0，π]，cosα＝，∴sinα＝＝，则＝1＋sinα＝1＋，检验知B符合上式.答案B4.若sin＝，则tan2x＝________.解析 sin＝，∴－cos2x＝，即cos2x＝－，∴tan2x＝＝＝＝4.答案45.方程sinx＋cosx＝1在区间[0，2π]上的所有解的和等于________.解析sinx＋cosx＝2sin＝1，x∈[0，2π]，解得x1＝，x2＝2π－，∴x1＋x2＝.答案6.定义运算a⊕b＝ab2＋a2b，则sin15°⊕cos15°＝________.解析由定义运算知sin15°⊕cos15°＝sin15°cos215°＋sin215°cos15°＝sin15°cos15°(cos15°＋sin15°)＝×2sin15°cos15°sin(45°＋15°)＝.答案考点一三角函数式的化简【例1】化简.解原式＝＝＝＝tanθ.规律方法三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.【训练1】化简＋(sin2α－cos2α).解原式＝－cos2α＝－cos2α＝·－cos2α＝sin2α－cos2α＝2sin.考点二三角函数式的求值多维探究角度1给角求值【例2－1】求值：[2cos40°＋sin10°(1＋tan10°)].解原式＝cos10°·＝cos10°·＝2(cos40°cos10°＋sin10°sin40°)＝2cos30°＝.角度2给值求值【例2－2】已知α，β都是锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，求cosβ的值.解 α，β都是锐角，cosα＝，∴sinα＝＝，又0<α＋β<π，cos(α＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝＝，故cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.角度3给出关系式求值【例2－3】已知sin4θ＋cos4θ＝，求sin2θ的值.解sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝，∴2sin2θcos2θ＝，∴sinθcosθ＝±，sin2θ＝2sinθcosθ＝±.角度4给值求角【例2－4】若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，求α＋β的值.解 sin2α＝，α∈，2α∈，∴cos2α＝－且α∈，又 sin(β－α)＝，β∈，∴cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)...
