高考数学二轮复习 每日一题 规范练（第四周）文（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

每日一题规范练(第四周)[题目1](2019·合肥质检)将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x)．(1)求函数h(x)的单调递增区间；(2)若g＝，求h(α)的值．解：(1)依题意，g(x)＝sin，则h(x)＝sin2x－sin＝sin.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以函数h(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由g＝，得sin＝sin＝，所以h(α)＝sin＝sin＝－sin(2α＋)＝－.[题目2]若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0且2Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若an＞0(n∈N*)，令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)当n＝1时，2S1＝a＋a1，则a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，则(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0⇒an＝－an－1或an＝an－1＋1，所以an＝(－1)n－1或an＝n.(2)由an＞0(n∈N*)，知an＝n.则bn＝＝＝.所以Tn＝[＋＋…＋]＝＝－.[题目3]艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能．下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：年份20112012201320142015201620172018年份代码x12345678感染者人数y/万人34.338.343.353.857.765.471.885(1)请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；(2)请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y与x的关系；(3)建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国艾滋病病毒感染人数．参考数据：≈6.48；yi＝449.6，xiyi＝2319.5,＝46.2，1参考公式：相关系数r＝.回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝y－bx解：画出的折线图如图所示.(2)由统计表，x＝4.5,y＝56.2所以≈296.3，×46.2≈299.376,所以r＝≈0.99.说明y与x的线性相关相当高，从而可用线性回归模型拟合y与x的关系．(3)因为b＝＝≈7.05，a＝y－bx＝56.2－7.05×4.5≈24.48，所以y＝7.05x＋24.48.当x＝10时，y＝7.05×10＋24.48＝94.98.所以预测2020年我国艾滋病感染累积人数为94.98万人．[题目4]如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB＝60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA＝1，AD＝AB＝QD＝2.2(1)求证：平面PAB⊥平面QBC；(2)求该组合体QPABCD的体积．(1)证明：因为QD⊥平面ABCD，PA∥QD，所以PA⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.因为AB⊥BC，且AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB.又BC⊂平面QBC，所以平面PAB⊥平面QBC.(2)解：连接BD，平面QDB将几何体分成四棱锥B-PADQ和三棱锥QBDC两部分，过B作BO⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，所以PA⊥BO.又AD⊥OB，PA∩AD＝A，所以BO⊥平面PADQ，即BO为四棱锥BAPQD的高，因为BO＝ABsin60°＝，S四边形PADQ＝(1＋2)×2＝3，所以VB-PADQ＝·BO·S四边形PADQ＝.因为QD⊥平面ABCD，且QD＝2，又△BCD为顶角等于120°的等腰三角形，BD＝2，S△BDC＝.所以V三棱锥Q-BDC＝·S△BDC·QD＝.所以组合体QPABCD的体积为＋＝.[题目5]已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P(x0，3)为抛物线C上一点，且点P到焦点F的距离为4，过点A(a，0)作抛物线C的切线AN(斜率不为0)，设切点为N.(1)求抛物线C的标准方程；(2)证明：以FN为直径的圆过点A.(1)解：由题知，|PF|＝yP＋，所以4＝3＋，解得p＝2，所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.(2)证明：设切线AN的方程为y＝k(x－a)，k≠0，联立消去y可得x2－4kx＋4ka＝0，由题意得Δ＝16k2－16ka＝0，即a＝k，所以切点N(2a，a2)．3又F(0，1)，A(a，0)，所以AF＝(－a，1)，AN＝(a，a2)．因此AF·AN＝(－a，1)·(a，a2)＝0.所以AF⊥AN，即∠FAN＝90°，故以FN为直径的圆过点A.[题目6]已知a为实数，函数f(x)＝alnx＋x2－4x.(1)若x＝3是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值；(2)设g(x)＝(a－2)x，若存在x∈，使得f(x0)≤g(x0)成立，求实数a的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2x－4＝.因为x＝3是函数f(x)的一个极值点，所以f′(3)＝0，解得a＝－6.经检验，当a＝－6时，x＝3是函数f(x)的一个极小值点，符合题意，故实数a＝－6.(2)由f(x0)≤g(x0)，得(x0－lnx0)a≥x－2x0，记F(x)＝x－lnx(x...