空间几何体的表面积与体积1．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(B)A．12πB．12πC．8πD．10π设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝2，所以S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π.2．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(A)A.＋1B.＋3C.＋1D.＋3由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，所以该几何体的体积V＝×π×12×3＋××××3＝＋1.3．(2018·河北五校高三联考)已知几何体的三视图如图所示，则其体积为(C)A．1B.C.D．2将三视图还原为直观图，如图1.图1由直观图可知，该几何体是一个组合体，将该组合体分割成两个几何体，如图2.图2其中E－AGHD为四棱锥，EGH－FBC为三棱柱．四棱锥E－AGHD的底面矩形边长分别为1,2，高为1，其体积V1＝×1×2×1＝.三棱柱EGH－FBC为斜三棱柱，此棱柱通过割补可变成一个直三棱柱E′GH－F′BC，如图3.图3此棱柱的体积V2＝×2×1×1＝1.所以所求几何体的体积V＝V1＋V2＝.4．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则球O的表面积为(D)A.πB.πC.πD.π在△ABC中，因为AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，所以∠ABC＝30°，由正弦定理得＝2r(r为△ABC的外接圆半径)，即2r＝＝4，所以r＝2.因为R2＝r2＋h2，又因为h＝，所以R2＝4＋，解得R2＝，所以球O的表面积为S＝4πR2＝.5．(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是80cm2，体积是40cm3.由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是4，高为2；上面正方体的棱长为2.所以该几何体的表面积为(4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm2)；体积为4×4×2＋23＝40(cm3)．6．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为π.设正方体的棱长为a，则6a2＝18，所以a＝.设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，所以R＝.故球的体积V＝πR3＝π×()3＝π.7．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积．如图，正三棱锥S－ABC，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH即为该正三棱锥的高，连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.因为△ABC是边长为6的正三角形，所以AE＝×6＝3，所以AH＝AE＝2，在△ABC中，S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，所以SH＝＝＝，所以V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)A.＋πB.＋πC.＋2πD.＋2π由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V1＝××2×1×1＝，半圆柱的体积V2＝×π×12×2＝π，所以V＝＋π.9．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成的角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为8π.在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝·SA2＝8，解得SA＝4.设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h，在Rt△SAO中，∠SAO＝30°，所以r＝2，h＝2，所以圆锥的体积为πr2·h＝π×(2)2×2＝8π.10．如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台．(1)求这个奖杯的体积(π取3.14)；(2)求这个奖杯的底座的侧面积．(1)球的体积V球＝πr3＝36π，圆柱的体积V圆柱＝Sh1＝64π，正四棱台的体积是V正四棱台＝h2(S上＋S下＋)＝336，所以此几何体的体积是V＝100π＋336＝650(cm3)．(2)因为底座是正四棱台，所以它的斜高是h′＝＝5，所以它的侧面积是S侧＝4××(6＋12)×5＝180(cm2)．
