第一部分专题二三角函数与平面向量第2讲三角变换与解三角形专题强化精练提能理1．(2015·济南市第一次模拟)已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝()A．－B.C．－或0D.或0解析：选D.由2sin2α＝1＋cos2α得4sinαcosα＝2cos2α，所以cosα(2sinα－cosα)＝0，所以cosα＝0或tanα＝.由cosα＝0知α＝2kπ±(k∈Z)，所以tan2α＝0；由tanα＝知tan2α＝.2．(2015·南昌市第一次模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，则b等于()A.B.C.D.解析：选C.因为cosA＝，所以sinA＝＝＝，所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝cos45°＋sin45°＝.由正弦定理＝，得b＝＝×sin45°＝.3．(2015·德州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于()A.B.C．－D．－解析：选C.因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，则结合面积公式与余弦定理，得absinC＝2abcosC＋2ab，即sinC－2cosC＝2，所以(sinC－2cosC)2＝4，＝4，所以＝4，解得tanC＝－或tanC＝0(舍去)，故选C.4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.因为bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝＝a＝asinA，所以sinA＝1.因为A∈(0，π)，所以A＝，即△ABC是直角三角形．5.如图所示，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，分别连接AD，AE，若∠ACB＝∠ADC＝，△ABC，△ABD，△ABE的外接圆直径分别为d，e，f，则()A．d＜f＜eB．e＜d＜fC．e＜f＜dD．e＝d＞f解析：选D.因为∠ACB＝∠ADC＝，所以AD＝AC，又由题图可知AC>AE，根据正弦定理可得d＝，e＝，f＝，所以有e＝d＞f，选D.6．已知sin＋sinα＝，则sin的值是()A．－B.C.D．－解析：选D.sin＋sinα＝⇒sincosα＋cossinα＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sinα＋cosα＝，故sin＝sinαcos＋cosαsin＝－＝－.7．(2015·东营市摸底考试)已知tan(3π－α)＝－，tan(β－α)＝－，则tanβ＝________．解析：依题意得tanα＝，tanβ＝tan[(β－α)＋α]＝＝.答案：8．(2015·高考福建卷)若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．解析：由正弦定理，得S＝×AB×AC×sinA＝10，所以sinA＝＝.因为A∈(0，)，所以A＝.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cosA＝25＋64－2×5×8×cos＝49，所以BC＝7.答案：79．某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________．解析：如图，由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，所以BS＝＝3.答案：3km10．(2015·江西省八所中学联考)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若BC＝1，则cos2－sin·cos－的值为________．解析：由题意得OB＝BC＝1，从而△OBC为等边三角形，所以sin∠AOB＝sin＝，所以cos2－sincos－＝·－－＝－sinα＋cosα＝sin＝sin＝sin＝.答案：11．(2015·高考浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．解：(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，所以－cos2B＝sin2C.又由A＝，即B＋C＝π，得－cos2B＝sin2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2.(2)由tanC＝2，C∈(0，π)，得sinC＝，cosC＝.因为sinB＝sin(A＋C)＝sin，所以sinB＝.由正弦定理得c＝，又因为A＝，bcsinA＝3，所以bc＝6，故b＝3.12．已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－.(1)求cos2α的值；(2)求2α－β的值．解：(1)因为tanα＝2，所以＝2，即sinα＝2cosα.又sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝，cos2α＝.所以cos2α＝cos2α－sin2α＝－.(2)因为α∈(0，π)，且tanα＝2，所以α∈.又cos2α＝－<0，故2α∈，sin2α＝.由cosβ＝－，β∈(0，π)，得sinβ＝，β∈.所以sin(2α－...
