第3讲用导数研究函数的最值一、填空题1．函数f(x)＝2x4－3x2＋1在区间上的最大值和最小值分别是________．解析令f′(x)＝8x3－6x＝0，得x＝0或x＝±，x＝0及x＝－不合题意，舍去． f＝2×－3×＋1＝－，f＝，f(2)＝21.∴原函数的最大值为f(2)＝21，最小值为f＝－.答案21，－2．已知a＞0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值是________．解析因为f′(x)＝3x2－a，所以由题意可得在[1，＋∞)上有3x2－a≥0恒成立，所以a≤(3x2)min，而(3x2)min＝3，所以a≤3.答案33．函数f(x)＝－x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________．解析由f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1,1)上递增，在(1，＋∞)上递减．故函数在(a,10－a2)上存在最大值的条件为答案[－2,1)4．若函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．答案－15．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1,2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2－x－2＝0，解得x＝1或－，f(－1)＝，f＝，f(1)＝，f(2)＝7.∴m＜.答案6．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为________．解析f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，当0≤x≤时，f′(x)≥0，且只有在x＝时，f′(x)＝0，∴f(x)是上的增函数，∴f(x)的最大值为f＝e，f(x)的最小值为f(0)＝.∴f(x)在上的值域为.答案7．已知曲线f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b，c∈R)通过点P(0,2a2＋8)，在点Q(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，则的最小值为________．解析由已知曲线f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b，c∈R)通过点P(0,2a2＋8)知c＝2a2＋8.又知其在点Q(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，∴f′(－1)＝0，即－2a＋b＝0.∴＝＝a＋. a＞0，∴＝a＋≥4，即的最小值为4.答案48．已知函数f(x)的图象过点(0，－5)，它的导数f′(x)＝4x3－4x，则当f(x)取得极大值－5时，x的值应为________．解析易知f(x)＝x4－2x2－5，f′(x)＝0时，x＝0或x＝±1，只有f(0)＝－5.答案09．已知a为实数，函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)．若f′(－1)＝0，则函数y＝f(x)在上的最大值和最小值分别为________．解析 f′(－1)＝0，∴3－2a＋1＝0，即a＝2.∴f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋1)．由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞－；由f′(x)＜0，得－1＜x＜－.因此，函数f(x)的单调递增区间为，，单调递减区间为.∴f(x)在x＝－1处取得极大值为f(－1)＝2；f(x)在x＝－处取得极小值为f＝.又 f＝，f(1)＝6，且＞，∴f(x)在上的最大值为f(1)＝6，最小值为f＝.答案6；10．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．解析 f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b，∴f′(x)＝0的Δ＝|a|2－4a·b>0，cos〈a，b〉＝<＝，又y＝cosθ在(0，π)上是递减的，∴〈a，b〉∈.答案二、解答题11．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．解(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，故有即12a＋b＝0,8a＋2b＋c＝c－16，化简得解得(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x1＝2处取得极小值f(2)＝c－16.由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.12．已知函数f(x)＝(x∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数y＝g(x)对任意x满足g(x)＝f(4－x)，证明当x＞2时，f(x)＞g(x)；(3)如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明x1＋x2＞4.(1)解由f(x)＝得f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝2，则f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)增极大值减所以f(x)在(－∞，2)内是增函数，...
