第三节函数的奇偶性与周期性题号1234567答案1．(2013·广东卷)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4B．3C．2D．1解析：四个函数中，y＝x3和y＝2sinx是奇函数．故选C.答案：C2．(2013·山东滨州一模)函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是()解析：函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，C.当x→π时，y＝→0，故选A.答案：A3．(2013·辽宁辽源模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)等于()A．2B.C.D．a2解析：将f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2中的x用－x代替得f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2，由函数的奇偶性可得－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，将两式相加和相减可得g(x)＝2，f(x)＝ax－a－x，因为g(2)＝a，所以a＝2，则有f(2)＝22－2－2＝.答案：C4．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝()A.B.C.D．1解析：方法一由已知得，f(x)的定义域关于原点对称，由于该函数定义域为，∴a＝.故选A.方法二∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．又f(x)＝，则＝在函数的定义域内恒成立，可得a＝.故选A.答案：A5．已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)，g(x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数解析：两个函数的定义域均为(－1，1)，则f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数；又g(－x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，故选D.答案：D6.(2013·浙江重点中学协作体摸底测试)函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是()A．(－a，－f(a))B．(a，f(－a))C．(a，－f(a))D．(－a，－f(－a))解析：函数的定义域为R，且满足f(x)＝f(－x)，∴f(x)为偶函数．∴f(a)＝f(－a)．而点(a，f(a))在函数图象上，∴(a，f(－a))也在函数图象上．故选B.答案：B7.(2014·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－，1，3}D．{－2－，1，3}解析：设x＜0，则－x＞0.所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x.求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解，当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x＜0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－，故选D.答案：D点评：求函数的零点等价于求方程的根，等价于求两个函数图象的交点的横坐标，此题还可以通过画图求解．注意“零点”不是“点”，是一个数值．8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．解析：由已知等式得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(6)＝f(2)，由f(x＋2)＝－f(x)得f(2)＝－f(0)，因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(6)＝0.答案：09．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________________________________.解析：由f(x＋2)＝，得f(x＋4)＝＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的函数，f(5)＝f(1)＝－5，f(－5)＝f(－1)＝＝＝－.答案：－10．设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2015)＝，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(2015)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)<－1，∴<－1，解得－1
