【高考领航】2017届高考数学大一轮复习演练经典习题3文北师大版1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对n∈N＋，均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋…＋c2016.解：(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝0或d＝2，又∵d＞0，∴d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴等比数列{bn}的公比q＝＝＝3.∴bn＝b2qn－2＝3×3n－2＝3n－1.(2)由＋＋…＋＝an＋1，①得当n≥2时，＋＋…＋＝an，②①－②，得n≥2时，＝an＋1－an＝2，∴cn＝2bn＝2×3n－1(n≥2)．而n＝1时，＝a2，∴c1＝3.∴cn＝∵c1＋c2＋…＋c2016＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32015＝3＋＝3－3＋32015＝32015.2．(2016·济南一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝3n＋k.(1)求k的值及数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足＝(4＋k)anbn，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－3n－1－k＝2·3n－1.因为{an}是等比数列，所以a1＝2，an＝2·3n－1.a1＝S1＝3＋k＝2，所以k＝－1.(2)由＝(4＋k)anbn，可得bn＝，bn＝·，Tn＝.Tn＝，Tn＝，Tn＝.3．(2016·吉林长春模拟)已知函数f(x)满足ax·f(x)＝b＋f(x)(ab≠0)，f(1)＝2且f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域中任意x都成立．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2.求证：数列{an}是等差数列；(3)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)由ax·f(x)＝b＋f(x)(ab≠0)，得f(x)(ax－1)＝b.若ax－1＝0，则b＝0，不合题意，故ax－1≠0，∴f(x)＝.由f(1)＝2＝，得2a－2＝b.①由f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域中任意x都成立，得＝－，由此解得a＝.②把②代入①，可得b＝－1.∴f(x)＝＝(x≠2)．(2)证明：∵f(an)＝，Sn＝2，∴Sn＝(an＋1)2，∴a1＝(a1＋1)2，∴a1＝1；当n≥2时，Sn－1＝(an－1＋1)2，∴an＝Sn－Sn－1＝(a－a＋2an－2an－1)，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.∵an＞0，∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，∴数列{an}是等差数列．(3)数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n－1.∴bn＝.Tn＝＋＋＋…＋，③同边同乘以，得Tn＝＋＋＋…＋，④③－④，得Tn＝＋＋＋…＋－，∴Tn＝2×－－＝2×－－＝－，∴Tn＝3－.
