第六节空间向量及其运算☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式；2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；5.理解直线的方向向量与平面的法向量；6.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；7.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理。2016，全国卷Ⅰ，18,12分(面面垂直、二面角)2015，全国卷Ⅰ，18(Ⅱ)，6分(求二面角)2015，全国卷Ⅱ，19(Ⅱ)，6分(求线面角)2014，全国卷Ⅱ，18,12分(平行、二面角问题)以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现。微知识小题练自|主|排|查1．空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念①空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。②相等向量：方向相同且模相等的向量。③共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量。④共面向量：平行于同一个平面的向量。(2)空间向量中的有关定理①共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb。②共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb。③空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc。2．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉。(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c。3．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝4.向量法证明平行与垂直(1)两个重要向量①直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个。②平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量。显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量。(2)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α、β的法向量分别为n、mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0微点提醒1．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理。如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可。若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外。2．用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标。小|题|快|练一、走进教材1．(选修2－1P97A组T2改编)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与C1M相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b－cD．－a－b＋c【解析】C1M＝C1C＋CM＝－AA1－AC＝－AA1－(AB＋AD)＝－AB－AD－AA1＝－a－b－c。故选C。【答案】C2．(选修2－1P111练习T3改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________。【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DA＝2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，所以AM＝(－2,0,1)，ON＝(1,0,2)，AM·ON＝－2＋0＋2＝0，所以AM⊥ON。【答案】垂直二、双基查验...
