【步步高】2016高考数学大一轮复习14.4不等式的证明试题理苏教版1.求证:++…+<2(n∈R*).证明∵<=-,∴++…+<1+(1-)+(-)+…+(-)=1+(1-)=2-<2.2.已知x2+2y2+3z2=,求3x+2y+z的最小值.解∵(x2+2y2+3z2)≥2=(3x+2y+z)2,当且仅当x=3y=9z时,等号成立.∴(3x+2y+z)2≤12,即-2≤3x+2y+z≤2.当x=-,y=-,z=-时,3x+2y+z=-2,∴最小值为-2.3.设正实数a、b满足a2+ab-1+b-2=3,求证:a+b-1≤2.证明由a2+ab-1+b-2=3,得ab-1=(a+b-1)2-3,又正实数a、b满足a+b-1≥2,即ab-1≤,当且仅当a=b时取“=”.∴(a+b-1)2-3≤,∴a+b-1≤2.4.已知an=+++…+(n∈N*),求证:
n,∴an=++…+>1+2+3+…+n=.∵<,∴an<+++…+=+(2+3+…+n)+=.综上得:0,b>0.(1)求证:≥9;(2)求(5-2a)2+4b2+(a-b)2的最小值.(1)证明因为a>0,b>0,所以a+b+≥3=3>0,①同理可证:a2++≥3>0.②由①②及不等式的性质得=3×3=9.(2)解[(5-2a)2+4b2+(a-b)2][12+12+22]≥[(5-2a)×1+2b×1+(a-b)×2]2.所以(5-2a)2+4b2+(a-b)2≥.当且仅当==时取等号,即a=,b=.所以当a=,b=时,(5-2a)2+4b2+(a-b)2取最小值.12.已知a,b为正实数.(1)求证:+≥a+b;(2)利用(1)的结论求函数y=+(00,b>0,∴(a+b)=a2+b2++≥a2+b2+2ab=(a+b)2.∴+≥a+b,当且仅当a=b时等号成立.法二∵+-(a+b)====.又∵a>0,b>0,∴≥0,当且仅当a=b时等号成立.∴+≥a+b.(2)解∵00,由(1)的结论,函数y=+≥(1-x)+x=1.当且仅当1-x=x,即x=时等号成立.∴函数y=+(0