专题09正弦定理与余弦定理的综合应用一、本专题要特别小心：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2.边角互化的选取3.正余弦定理的选取4.三角形中的中线问题5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题二．【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．三．【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.四．【题型方法】（一）三角形中角的范围问题例1.在中，，，则的最大值为A．B．C．D．【答案】A【解析】中，，，则，，其中由于，所以，所以最大值为．故选：A．练习1.在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．【答案】【解析】由正弦定理可得：得：，即又令，得：为锐角三角形得：，即当且仅当，即时取等号本题正确结果：练习2.设的内角的对边分别为，其外接圆的直径为1,，且角为钝角.（1）求的值；（2）求的取值范围．【答案】(1).(2).【解析】（1）三角形外接圆的直径为1，由得，又因为钝角，所以，所以，所以.（2）由（1）知，,所以于是=，因为，所以，，因此的取值范围是（二）正余弦定理与三角形面积综合例2.在中，为的外心，若，其中.则点的轨迹所对应图形的面积是__________．【答案】【解析】由余弦定理得，,所以.因此由题意知，点的轨迹对应图形是边长为的菱形,于是这个菱形的面积是故答案为：练习1.在中，内角的对边分别为，且，.（1）求；（2）点在边上，且，，求.【答案】(1).(2).【解析】（1）因为，所以，即，整理得，因为，所以，解得.（2）由题意得，，因为，所以，即，由余弦定理可知，即，解得（舍去），即.练习2.如图，在平面四边形中，，，.（1）求对角线的长；（2）若四边形是圆的内接四边形，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，，由正弦定理得，即.（2）由已知得，，所以，在中，由余弦定理可得，则，即，所以，当且仅当时取等号.（三）三角形问题中的数形结合例3.中，三内角的对边分别为，且满足，，是以为直径的圆上一点，则的最大值为_____．【答案】【解析】由，a=1，得，根据正弦定理sinB=sinAsin（C+），∴sin（A+C）=sinAsin（C+），可得cosAsinC=sinAsinC． sinC≠0，∴cosA=sinA即A=．作△ABC的外接圆，当AD经过△ABC的外接圆的圆心且垂直于BC时，AD最大．设BC中点为O，此时OA=．那么：AD=OA+OD=．故答案为：练习1．已知平面上有四点O，A，B，C，向量满足：，则△ABC的周长是()A．3B．9C．3D．6【答案】A【解析】平面上有四点，满足，是的重心，，，即，同理可得：，即是垂心，故是正三角形，，设外接圆半径为，则，即，即，即，故周长，故选A.（四）判断三角形的形状例4.在中，，则一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理可知：，而已知，所以，即，而，所以有或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故本题选D.练习1.中，，，则一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】D【解析】中，，,故得到，故得到角A等于角C，三角形为等边三角形.故答案为：D.练习2.在中，角，，所对的边的长分别为，，，若，则的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形【答案】C【解析】由正弦定理得：由余弦定理得：为钝角，则为钝角三角形本...
