高考数学二轮专题讲座五 递推数列及数列的应用VIP专享VIP免费

教考网特约名师高考数学二轮专题讲座五递推数列及数列的应用●考点透视阅读与数列相关的实际问题，并能够从中归纳、提炼出数列问题模型．能灵活运用等差数列、等比数列基础知识，求出数列问题的解．能用切合实际意义的语言表述问题的解．增强用数学的意识，体会数学就在我们身边．有关递推数列及数列的应用高考命题情况，我们首先观察一下2003年、2004年及2005年的全国卷及各省单独命题.递推数列及数列的应用一道选择题或填空题，一道解答题，试题分数为15分至18分．有三分之一的省市放在压轴题.●名师串讲○重点讲解用数学不仅是用数学的知识，也包括用数学的方法、数学的思想．解数列应用题与解其他应用题一样，首先要认真阅读领悟，学会翻译（数学化）．其次再考虑用熟悉的知识建立数学模型，求出问题的解．最后，常常还需验证求得的解是否符合实际．○技巧方法纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.●考题解析【例1】(2004年浙江文史卷)已知数列的前n项和为（Ⅰ）求；（Ⅱ）求证数列是等比数列．【思路串讲】本题主要考查递推数列、等比数列的概念，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.解题突破口：利用an、Sn的关系式an+1=Sn+1－Sn(n=1,2,3，…)可求得为常数.【标准答案】(Ⅰ)由,得∴又,即,得.用心爱心专心(Ⅱ)当n>1时,得所以是首项,公比为的等比数列.【例2】(2004年全国卷理Ⅱ)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn（n＝1，2，3，…）．证明：(1)数列{}是等比数列；(2)Sn＋1＝4an．【思路串讲】本题主要考查递推数列、等比数列的概念，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.解题突破口：利用an、Sn的关系式an+1=Sn+1－Sn(n=1,2,3，…)来解决此类问题.【标准答案】（1）：由a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，…)，知a2=S1=3a1,,,∴,又an+1=Sn+1－Sn(n=1,2,3，…),则Sn+1－Sn=Sn(n=1,2,3，…)，∴nSn+1=2(n+1)Sn,(n=1,2,3，…).故数列{}是首项为1，公比为2的等比数列.(2)由数列{}是首项为1，公比为2的等比数列，则=2n－1,∴Sn+1=(n+1)2n(n≥1)而an+1=Sn(n=1,2,3，…)，则an=Sn－1=·(n－1)2n－2=(n+1)2n－2(n=2,3，…),∴Sn+1=4an.又a2=3S1=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an.【例3】(2004年重庆文史类卷)设（1）令求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【思路串讲】本题主要考查递推数列、数列的求和，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.解题突破口：利用已知条件找与的关系,再利用等差数列与等比数列之积的错位相差法来解决此类问题.【标准答案】（I）因用心爱心专心故{bn}是公比为的等比数列，且（II）由注意到可得记数列的前n项和为Tn，则【例4】某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+n21)万元（n为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【思路串讲】本题涉及的知识主要是等差数列、等比数列、函数性质等，这些都是高中数学的主干知识．所提出的两个问题，逐步推进，抓住数列、函数、不等式的知识网络交汇点，综合自然，独具匠心，合情合理，有较高的区分度．解题突破口：对于不进行技术改造，题目给出了纯利润的等差数列规律；而对于进行技术改造，题目给出了利润的通项公式．第(...