高考数学专题三第2讲知能演练轻松闯关训练题1．(2012·广州调研)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是()A．24B．48C．60D．72解析：选B.设等差数列{an}的公差为d，由题意可得，解得，则S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a1＋24d＝48，故选B.2．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝＋f(x)，x∈R，且f(1)＝，则数列{f(n)}(n∈N*)的前20项的和为()A．305B．315C．325D．335解析：选D. f(n＋1)－f(n)＝，∴数列{f(n)}(n∈N*)是以为公差的等差数列，∴前20项的和为20×＋×＝335.3．(2012·高考课标全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为()A．3690B．3660C．1845D．1830解析：选D. an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝＝1830.4．已知等差数列{an}满足a2＝3，a5＝9，若数列{bn}满足b1＝3，bn＋1＝abn，则{bn}的通项公式为bn＝()A．2n－1B．2n＋1C．2n＋1－1D．2n－1＋2解析：选B.据已知易得an＝2n－1，故由bn＋1＝abn可得bn＋1＝2bn－1，变形为bn＋1－1＝2(bn－1)，即数列{bn－1}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn－1＝2n，解得bn＝2n＋1.故选B.5．(2012·高考浙江卷)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列解析：选C.设{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋n.由二次函数的性质知Sn有最大值时，则d<0，故A、B正确；因为{Sn}为递增数列，则d>0，不妨设a1＝－1，d＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－1<0，故C错误；对任意n∈N*，Sn均大于0时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数列，D正确．6．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.解析： y′＝2x，∴k＝y′|x＝ak＝2ak，故切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，令y＝0，得x＝ak，即ak＋1＝ak，∴{an}是以16为首项，为公比的等比数列，即an＝16·()n－1.∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.答案：217．设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝sin，n∈N*，则S2013＝________.解析：由an＝sin，n∈N*得a1＝1，a2＝0，a3＝－1，a4＝0，故{an}是以4为周期的周期数列，所以S2013＝S503×4＋1＝S1＝a1＝1.答案：18．秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感．某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗甲流病人共有________人．解析：由于an＋2－an＝1＋(－1)n，所以a1＝a3＝…＝a29＝1，a2，a4，…，a30构成公差为2的等差数列，1所以a1＋a2＋…＋a29＋a30＝15＋15×2＋×2＝255.答案：2559．(2012·高考浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.(1)求an，bn；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.解：(1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.所以an＝4n－1，n∈N*.由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n.所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.10．已知，，(x≥0)成等差数列，在数列{an}(an>0)中，a1＝3，此数列的前n项和为Sn，对于所有大于1的正整数n都有Sn＝f(Sn－1)．(1)求数列{an}的第n＋1项；(2)若是、的等比中项，且Tn为{bn}的前n项和，求Tn.解：(1)因为，，(x≥0)成等差数列，所以2×＝＋，整理，得f(x)＝(＋)2.因为Sn＝f(Sn－1)(n≥2)，所以Sn＝(＋)2，所以＝＋，即－＝，所...
