压轴题增分练(三)(时间：30分钟满分：24分)1．(12分)椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P，若|PF1|＝5，且3a＝b2.(1)求椭圆E的方程；(2)A，B是椭圆C上位于直线l两侧的两点．若直线AB过点(1，－1)，且∠APF2＝∠BPF2，求直线AB的方程．[规范解答及评分标准](1)由题意知，|PF2|＝＝3.∵|PF1|＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，∴a＝4，b2＝3a＝12，∴椭圆E的方程为＋＝1.(4分)(2)由(1)可得c＝2.把x＝2代入＋＝1，得y＝3(负值已舍去)．∴点P的坐标为(2,3)．(6分)∵∠APF2＝∠BPF2，∴直线PA，PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线PA的方程为y－3＝k(x－2)．联立方程消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋8k(3－2k)x＋4(3－2k)2－48＝0.∴x1＋2＝.(8分)同理可得直线PB的方程为y－3＝－k(x－2)，x2＋2＝＝.∴x1＋x2＝，x1－x2＝.(10分)kAB＝＝＝＝，∴满足条件的直线AB的方程为y＋1＝(x－1)，即x－2y－3＝0.(12分)2．(12分)已知函数f(x)＝x2－(2m＋1)x＋lnx(m∈R)．(1)当m＝－时，若函数g(x)＝f(x)＋(a－1)lnx恰有一个零点，求实数a的取值范围；(2)当x>1时，f(x)<(1－m)x2恒成立，求实数m的取值范围．[规范解答及评分标准](1)由题意得，函数g(x)的定义域为(0，＋∞)．当m＝－时，g(x)＝alnx＋x2，所以g′(x)＝＋2x＝.①当a＝0时，g(x)＝x2(x>0)无零点．(2分)②当a>0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．取x0＝e－，则g(e－)＝－1＋(e－)2<0.因为g(1)＝1，所以g(x0)·g(1)<0，此时函数g(x)恰有一个零点．(4分)③当a<0时，令g′(x)＝0，解得x＝.当0时，g′(x)>0，即g(x)在上单调递增．要使函数f(x)有一个零点，则g＝aln－＝0，解得a＝－2e.综上所述，若函数g(x)恰有一个零点，则a＝－2e或a>0.(6分)(2)令h(x)＝f(x)－(1－m)x2＝mx2－(2m＋1)x＋lnx，则h′(x)＝2mx－(2m＋1)＋＝.根据题意可知，当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0恒成立．①若00，所以h(x)在上是增函数，且h(x)∈，所以不符合题意．(8分)②若m≥，则当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0恒成立，所以h(x)在(1，＋∞)上是增函数，且h(x)∈(h(1)，＋∞)，所以不符合题意．(10分)③若m≤0，则当x∈(1，＋∞)时，恒有h′(x)<0，所以h(x)在(1，＋∞)上是减函数，要使h(x)<0对任意x∈(1，＋∞)恒成立，则h(1)≤0，即m－(2m＋1)≤0，解得m≥－1，故－1≤m≤0.综上所述，实数m的取值范围是[－1,0]．(12分)
