第8讲立体几何中的向量方法（二）一、选择题1．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是()A.B.C.D．3解析两平面的一个单位法向量n0＝，故两平面间的距离d＝|OA·n0|＝.答案B2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为()．A．30°B．60°C．120°D．150°解析设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30°.答案A3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()．A.B.C.D.解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)．BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)，cos〈BC1，AE〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案B4．已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝()．A．2B.C.D．1解析如图，建立直角坐标系Dxyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由AB＝2解得t＝.答案C5．如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A－BC－D的大小为()．A.B.C.D.解析二面角A－BC－D的大小等于AB与CD所成角的大小.AD＝AB＋BC＋CD.而AD2＝AB2＋CD2＋BC2－2|AB|·|CD|·cos〈AB，CD〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈AB，CD〉，∴cos〈AB，CD〉＝，∴AB与CD所成角为，即二面角A－BC－D的大小为.故选B.答案B6．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为()1A.B.C．2D.解析如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)．则⇒，令z＝－1，得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos60°＝，得＝，即a＝，故AD＝.答案A二、填空题7．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________．解析cos〈n，a〉＝＝＝－.又l与α所成角记为θ，即sinθ＝|cos〈n，a〉|＝.答案.8．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.解析由已知得＝＝，∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.答案－2或9．已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．解析如图，建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1由已知条件A(1,0,0)，E，F，AE＝，AF＝，设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的二面角为θ，由得令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)cosθ＝cos〈n，m〉＝，tanθ＝.答案10．在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是________．解析如图所示建立空间直角坐标系，设OA＝OB＝OC＝21，则A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,1)，M，故AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,1)，OM＝.设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则由得令x＝1，得n＝(1,1,1)．故cos〈n，OM〉＝＝，所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，其正切值为.答案三、解答题11．如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F分别为棱BC、AD的中点．(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；(2)求E到平面ACD的距离；(3)求EF与平面ACD所成角的正弦值．解如图，分别以直线BC、BD、BA为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)．(1) AB＝(0,0，－4)，EF＝(－2,2,2)，∴|cos〈AB，EF〉|＝＝，∴异面直线AB与EF所成角的余弦值为.(2)设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y,1)，则 AC＝(4,0，－4)，CD＝(－4,4,0)，∴∴x＝y＝1，∴n＝(1,1,1，)． F∈平面ACD，EF＝(－2,2,2)，∴E到平面ACD的距离为d＝＝＝.(3)EF与平面ACD所成角的正弦值为|cos〈n，EF〉|...
