第6讲抛物线INCLUDEPICTURE"../课时作业.tif"\*MERGEFORMAT基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·合肥质量检测)抛物线x2＝y的焦点坐标为()A.B.C.D.解析抛物线x2＝y的焦点坐标是.答案D2．(2014·咸阳复习检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为()A．2B．1C.D.解析曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2，0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2，故选A.答案A3．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝x2或y＝－x2解析分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.答案D4．(2015·九江质量检查)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，一条渐近线为l，抛物线C2：y2＝4x的焦点为F，点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|＝()A．2B．3C．4D．5解析依题意，不妨设直线l：y＝x，则由得或此时点P(4，4)，|PF|＝4＋1＝5，故选D.答案D5．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为130°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()A.B．6C．12D．7解析焦点F的坐标为，法一直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝，即y＝x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，故选C.法二由抛物线焦点弦的性质可得|AB|＝＝＝12.答案C二、填空题6．(2015·北京西城区模拟)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M为抛物线C上一点，且点M的横坐标为2，则|MF|＝________．解析由抛物线的定义可知|MF|＝xM＋＝2＋1＝3.答案37．(2014·北京海淀区模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的左顶点，则p＝________．解析由题意知抛物线的准线为x＝－，双曲线x2－y2＝1的左顶点为(－1，0)，所以－＝－1，p＝2.答案28．(2014·银川质量检测)已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．解析依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.答案x－y－1＝0三、解答题9.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．解设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x，由得x＝0或x＝.∴A点坐标为，同理得B点坐标为(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，可得2②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.则p2＝＝.又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x.10．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．(1)设l的斜率为1，求|AB|；(2)求证：OA·OB是一个定值．(1)解 由题意可知抛物线的焦点F为(1，0)，准线方程为x＝－1，∴直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.(2)证明设直线l的方程为x＝ky＋1，由得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)． OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.∴OA·OB是一个定值．能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(2015·南昌模拟)已知P是抛物线y2＝2x上动点，A，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()A．4B.C．5D.解析因为点P在抛物线上，所以d1＝|PF|－(其中点F为抛物线的焦点)，则d1＋d2＝|PF|＋|PA|－≥|AF|－＝－＝5－＝，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号，故选B.答案B12．(2014·四川卷)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A．2B．3C.D.解析如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，则OA＝(m2，m)，OB＝(n2，n)，OA·OB＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝31(舍)或mn＝－2.∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令...
