专题跟踪训练(十二)一、选择题1．(2015·江南十校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝6＋a7，则S9的值是()A．27B．36C．45D．54[解析]由2a6＝6＋a7得a5＝6，所以S9＝9a5＝54.故选D.[答案]D2．等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得an>0的最小正整数n为()A．7B．8C．9D．10[解析]由已知得S13＝－12×13＋78d＝0，解得d＝2，故通项an＝－12＋2(n－1)＝2n－14，令an＝2n－14>0⇒n>7，故最小的正整数n＝8，故选B.[答案]B3．在等差数列{an}中，a1＝－2016，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2016的值等于()A．－2014B．－2015C．－2013D．－2016[解析]根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项＝a1＝－2016，公差d＝1，故＝－2016＋(2016－1)×1＝－1，所以S2016＝－2016，故选D.[答案]D4．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝an＋2＋1，则＝()A．100B．101C．102D．103[解析]因为an＋1＝an＋2＋1＝(＋1)2，所以＝＋1，所以数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，＝101，故选B.[答案]B5．(2015·河北五校高三质检)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a2＝10，S4＝36，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是()A.B．(－1，－1)C.D.[解析]设等差数列{an}的公差为d，则由题设得：，解得：.所以an＝4n－1，PQ＝(n＋2－n，an＋2－an)＝(2,8)＝－4×，所以过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是，故选A.[答案]A6．(2015·吉林长春质量监测二)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则an＝()A.B.C.D.[解析]设bn＝nSn＋(n＋2)an，有b1＝4，b2＝8，则bn＝4n，即bn＝nSn＋(n＋2)an＝4n，Sn＋an＝4.当n≥2时，Sn－Sn－1＋an－an－1＝0，所以an＝an－1，即2·＝，所以是以为公比，1为首项的等比数列，所以＝n－1，an＝.故选A.[答案]A二、填空题7．(2015·云南师大附中月考)已知数列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，则{an}的前100项和为________．[解析]由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，得a2n＋a2n＋1＝n＋1，∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)＝2＋2＋3＋…＋50＝1276， a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，∴a1＋a2＋…＋a100＝1276＋13＝1289.[答案]12898．(2015·陕西质检二)已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an，若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．[解析] a－6a＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0， an>0，∴an＋1＝3an，∴{an}为等比数列，an＝2·3n－1，∴Sn＝3n－1.[答案]3n－19．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.[解析]当n＝1时，S1＝a1＝－1，所以＝－1.因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以－＝1，即－＝－1，所以是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝(－1)＋(n－1)·(－1)＝－n，所以Sn＝－.[答案]－三、解答题10．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)令n＝1时，T1＝2S1－1， T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.(2)当n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1. 当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，∴Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，两式相减得an＝2an－2an－1－2，∴an＝2an－1＋2(n≥2)，∴an＋2＝2(an－1＋2)， a1＋2＝3≠0，∴数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．∴an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2，当n＝1时也满足上式，∴an＝3×2n－1－2.11．(2015·四川卷)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.[解](1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1...
