第三节导数与函数的极值、最值A组基础题组1.函数f(x)=13x3-4x+4的极大值为()A.283B.6C.263D.7答案Af'(x)=x2-4=(x+2)(x-2),令f'(x)=0,得x=-2或x=2,则f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以f(x)的极大值为f(-2)=283.2.函数y=xex在[0,2]上的最大值是()A.1eB.2e2C.0D.12√e答案A易知y'=1-xex,令y'>0,得0≤x<1,令y'<0,得10时,令f'(x)=0,得x=±√a,当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-√a)-√a(-√a,√a)√a(√a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗因为函数f(x)在区间(-1,2)上仅有一个极值点,所以{√a<2,-√a≤-1或{-√a>-1,2≤√a,解得1≤a<4.故选C.6.函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则a的值为.答案1解析f'(x)=aex-cosx,若函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则f'(0)=a-1=0,解得a=1,经检验,a=1符合题意.7.已知函数f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为.答案4解析f'(x)=3x2+6ax+3b,由题意得{3×22+6a×2+3b=0,3×12+6a×1+3b=-3⇒{a=-1,b=0.所以f'(x)=3x2-6x,令3x2-6x=0,则x=0或x=2,所以f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上递增,在(0,2)上递减,所以f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.8.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为.答案-37解析由题意知,f'(x)=6x2-12x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,当-20,当03时,g'(x)<0;当00.于是函数g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,3)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减.所以函数g(x)在x=0处取得极小值g(0)=-3,在x=3处取得极大值g(3)=15e-3.10.已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.解析(1)因为f(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,则f'(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.当x∈[0,π2]时,h'(x)≤0,所以h(x)在区间[0,π2]上单调递减.所以对任意x∈[0,π2]有h(x)≤h(0)=0,即f'(x)≤0.所以函数f(x)在区间[0,π2]上单调递减.3因此f(x)在区间[0,π2]上的最大值为f(0)=1,最小值为f(...
