高考小题分项练6平面向量1．已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，则|a＋b|等于()A．0B.C．2D.答案D解析 a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，∴a·b＝a2＝，∴|a＋b|＝＝＝＝.2．已知向量a，b，其中a＝(－1，)，且a⊥(a－3b)，则b在a上的投影为()A.B．－C.D．－答案C解析由a＝(－1，)，且a⊥(a－3b)，得a·(a－3b)＝0＝a2－3a·b＝4－3a·b，a·b＝，所以b在a上的投影为＝＝，故选C.3．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别是x轴，y轴上的一点，且|AB|＝1，若点P(1，)，则|AP＋BP＋OP|的取值范围是()A．[5,6]B．[6,7]C．[6,9]D．[5,7]答案D解析设A(cosθ，0)，B(0，sinθ)，则AP＋BP＋OP＝(3－cosθ，3－sinθ)，|AP＋BP＋OP|2＝(3－cosθ)2＋(3－sinθ)2＝37－6(cosθ＋sinθ)＝37－12sin(θ＋)，即可求得范围是[5,7]．4．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A.B.C．2D．4答案C解析a＝(1，x)，b＝(－1，x)，∴2a－b＝2(1，x)－(－1，x)＝(3，x)，由(2a－b)⊥b⇒3×(－1)＋x2＝0，解得x＝－或x＝，∴a＝(1，－)或a＝(1，)，∴|a|＝＝2或|a|＝＝2.故选C.5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，BE＝2EC，点F在边CD上，若AB·AF＝3，则AE·BF的值为()A．4B.C．0D．－4答案D解析如图所示，BE＝2EC⇒BE＝BC＝，AB·AF＝3⇒AFcos∠BAF＝1⇒DF＝1，以点A为原点建立平面直角坐标系，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，则B(0,3)，F(，1)，E(，3)，因此BF＝(，－2)，AE·BF＝×－2×3＝2－6＝－4.6．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若CD＝mBA＋nBC(m，n∈R)，则等于()A．－3B．－C.D．3答案A解析如图，作AE∥DC，交BC于点E，则ADCE为平行四边形，EA＝CD＝mBA＋nBC，又EA＝EB＋BA＝BA－BC，所以故＝－3.7．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则CM·CN的取值范围为()A．[3,6]B．[4,6]C．[2，]D．[2,4]答案B解析以点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,3)，∴AB所在直线的方程为：＋＝1，则y＝3－x.设N(a,3－a)，M(b,3－b)，且0≤a≤3,0≤b≤3，不妨设a>b， MN＝，∴(a－b)2＋(b－a)2＝2，∴a－b＝1，∴a＝b＋1，∴0≤b≤2，∴CM·CN＝(b,3－b)·(a,3－a)＝2ab－3(a＋b)＋9＝2(b2－2b＋3)＝2(b－1)2＋4,0≤b≤2，∴当b＝0或b＝2时有最大值6；当b＝1时有最小值4.∴CM·CN的取值范围为[4,6]，故选B.8．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量n＝(a＋c，sinB－sinA)，m＝(a＋b，sinC)，若m∥n，则角B的大小为()A.B.C.D.答案B解析若m∥n，则(a＋b)(sinB－sinA)－sinC(a＋c)＝0，由正弦定理可得：(a＋b)(b－a)－c(a＋c)＝0，化为a2＋c2－b2＝－ac，∴cosB＝＝－. B∈(0，π)，∴B＝，故选B.9．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，点E为BC边上一点，BC＝3EC，点F为AE的中点，则BF等于()A.AB－ADB.AB－ADC．－AB＋ADD．－AB＋AD答案C解析如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则DG∥BC，∴BC＝GD＝AD－AG＝AD－AB，AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AD－AB)＝AB＋AD，于是BF＝AF－AB＝AE－AB＝(AB＋AD)－AB＝－AB＋AD，故选C.10．设点P是△ABC所在平面内的一点，且CP＝2PA，则△PAB与△PBC的面积之比是()A．1∶3B．1∶2C．2∶3D．3∶4答案B解析依题意，得CP＝2PA，设点B到AC之间的距离为h，则△PAB与△PBC的面积之比为＝＝.11．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，m＝(a，b)，n＝(sinB，cosA)，m⊥n，b＝2，a＝，则△ABC的面积为()A.B.C.D．2答案C解析 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，m＝(a，b)，n＝(sinB，cosA)，m⊥n，b＝2，a＝，∴m·n＝asinB＋bcosA＝sinB＋2cosA＝0，∴sinB＝－，由正弦定理得＝，整理得sinA＝－cosA，∴sin2A＋cos2A＝4cos2A＝1，cosA<0，∴cosA＝－. 0
