课时作业20两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．已知α∈，sinα＝，则tan2α＝()A.B.C．－D．－解析：∵α∈，sinα＝，∴cosα＝－，∴tanα＝－.∴tan2α＝＝＝－.答案：D2．(2016·新课标全国卷Ⅲ)若tanθ＝－，则cos2θ＝()A．－B．－C.D.解析：由tanθ＝－，得sinθ＝－，cosθ＝或sinθ＝，cosθ＝－，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝，故选D.答案：D3．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cosβ＝()A．－B．－C.D.解析：∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sinα＝.又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.答案：C4．(2017·广东汕头质量检测)已知sin＝，则cos的值是()A.B.C．－D．－解析：sin＝sin＝cos＝cos，所以cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－，故选D.答案：D5．已知α、β都是锐角，若sinα＝，sinβ＝，则α＋β等于()A.B.C.和D．－和－解析：由α、β都为锐角，所以cosα＝＝，cosβ＝＝.所以cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝，所以α＋β＝.故选A.答案：A6．(2017·河北石家庄质检)设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为()A．[－，1]B．[－1，]C．[－1,1]D．[1，]解析：∵sinαcosβ－cosαsinβ＝1⇒sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，∴α－β＝，∴⇒≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)1＝sin＋sin(α－2α＋π)＝sinα＋cosα＝sin.∵≤α≤π，∴≤α＋≤π，∴－1≤sin≤1，即取值范围是[－1,1]，故选C.答案：C二、填空题7．sin15°＋sin75°的值是________．解析：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝sin(15°＋45°)＝×＝.答案：8．(2017·吉林东北师大附中等三校联考)函数f(x)＝cos2x－2sinx的值域为________．解析：f(x)＝cos2x－2sinx＝1－2sin2x－2sinx＝－22＋，又sinx∈[－1,1]，∴f(x)∈，函数f(x)的值域为.答案：[－3，]9．(2017·河北衡水中学一调)若tanα＋＝，α∈，则sin＋2coscos2α的值为________．解析：∵tanα＋＝，∴(tanα－3)(3tanα－1)＝0，∴tanα＝3或.∵α∈，∴tanα>1，∴tanα＝3，sin＋2coscos2α＝sin2α＋cos2α＋＝(sin2α＋2cos2α＋1)＝＝＝0.答案：010．(2017·广东广州五校联考)函数f(x)＝4cosx·sin－1(x∈R)的最大值为________．解析：∵f(x)＝4cosxsin－1＝4cosx－1＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴f(x)max＝2.答案：2三、解答题11．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求f的值；(2)若sinα＝，且α∈，求f.解：(1)f＝cos2＋sincos＝2＋×＝.(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝＋(sin2x＋cos2x)＝＋sin，所以f＝＋sin＝＋sin＝＋.又因为sinα＝，且α∈，所以cosα＝－，所以f＝＋＝.12．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.(1)求sin2β的值；(2)求cos的值．解：(1)解法1：∵cos2＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，∴cosβ＋sinβ＝，∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.解法2：sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<π，<α＋β<，∴sin>0，cos(α＋β)<0.∵cos＝，sin(α＋β)＝，∴sin＝，cos(α＋β)＝－，∴cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.1．在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为()A.B.C.D.解析：由题意知，sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－，又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝.答案：A2．(2017·成都一诊)若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是()A.B.C.或D.或解析：因为α∈，所以2α∈，又sin2α＝，所以2α∈，α∈，故cos2α＝－.又β∈，所以β－α∈，故cos(β－α)＝－.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝，且α＋β∈，故α＋β＝.答案：A3．(2016·新课标全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.解析：解法1：因为sin(θ＋)＝，所以cos＝sin＝sin(θ＋)＝，因为θ为第四象限角，所以－＋2kπ<θ<2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ<θ－<2kπ－，k∈Z，所以sin(θ－)＝－＝－，所以tan＝＝－.解法2：因为θ是第四象限角，且sin(θ＋)＝，所以θ＋为第一象限角，所以cos(θ＋)＝，3所以tan(θ－)＝＝＝－＝－.答案：－4．已知函数f(x)＝sin＋cos(ω>0)的最小正周期T＝4π.(1)求ω；(2)设x1，x2∈，求|f(x1)－f(x2)|的最大值．解：(1)f(x)＝sin＋cos＝sin＋cos＝sin＋cos－sin＝sin＋cos＝sin，∵函数f(x)的最小正周期T＝4π，且ω>0，∴ω＝.(2)由(1)知f(x)＝sin，当x∈时，x＋∈，f(x)∈.∴当x1，x2∈时，|f(x1)－f(x2)|max＝f(x)max－f(x)min＝1－＝.4
