第6讲立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直一、填空题1．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为________．解析由条件知AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，设a＝(x，y，z)则有解可得a＝±(1,1,1)．答案(1,1,1)或(－1，－1，－1)2．已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为________．解析由已知得c＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，故a·c＝3m＋n＋1＝0，b·c＝m＋5n－9＝0.解得答案－1,23．已知a＝，b＝满足a∥b，则λ等于________．解析由＝＝，可知λ＝.答案4．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，在下列四组向量中能使l∥α的是________(填序号)．①a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)；②a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)；③a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)；④a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)．解析若l∥α，则a·n＝0.而①中a·n＝－2，②中a·n＝1＋5＝6，③中a·n＝－1，只有④选项中a·n＝－3＋3＝0.答案④5．设a＝(1,2,0)，b＝(1,0,1)，则“c＝”是“c⊥a，c⊥b且c为单位向量”的________条件．解析当c＝时，c⊥a，c⊥b且c为单位向量，反之则不成立．答案充分不必要6．若|a|＝，b＝(1,2，－2)，c＝(2,3,6)，且a⊥b，a⊥c，则a＝________.解析设a＝(x，y，z)， a⊥b，∴x＋2y－2z＝0.① a⊥c，∴2x＋3y＋6z＝0.② |a|＝，∴x2＋y2＋z2＝17.③联立①②得x＝－18z，y＝10z，代入③得425z2＝17，z＝±.∴a＝或.答案或7．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．解析 AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，BC＝(3,1,4)，则解得答案，－，48．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1，4)确定的平面上，则a＝________.解析PA＝(－1，－3,2)，PB＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC＝xPA＋yPB(x，y∈R)，则(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4)＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)，∴解得x＝－7，y＝4，a＝16.答案169．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中利用动点轨迹的方法，可以求出过点A(2,1)且法向量n＝(－1,2)的直线(点法式)方程为－(x－2)＋2(y－1)＝0，化简得x－2y＝0，类比以上求法在空间直角坐标系中，经过点A(3，－1,3)且法向量为n＝(1，－2,1)的平面(点法式)方程为________．(请写出化简后的结果)解析设P(x，y，z)是平面内的任意一点，则PA⊥n，∴PA·n＝(3－x，－1－y,3－z)·(1，－2,1)＝0，即x－2y＋z－8＝0.答案x－2y＋z－8＝010.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．解析 正方体棱长为a，A1M＝AN＝，∴MB＝A1B，CN＝CA，∴MN＝MB＋BC＋CN＝A1B＋BC＋CA＝(A1B1＋B1B)＋BC＋(CD＋DA)＝B1B＋B1C1.又 CD是平面B1BCC1的法向量，∴MN·CD＝·CD＝0，∴MN⊥CD.又 MN⃘平面B1BCC1，∴MN∥平面B1BCC1.答案平行二、解答题11.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为、(0,0,1)．∴NE＝.又点A、M的坐标分别是(，，0)、∴AM＝.∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又 NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM＝， D(，0,0)，F(，，1)，B(0，，0)，∴DF＝(0，，1)，BF＝(，0,1)，∴AM·DF＝0，AM·BF＝0，∴AM⊥DF，AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.12.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝1，D1D＝λ(λ>0)，若棱C1C上存在点P满足A1P⊥平面PBD，求实数λ的取值范围．解如图，以点D为原点O，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0，λ)，设P(0,1，x)，其中x∈[0，λ]，则A1P＝(－1,1，x－λ)，BP＝(－1,0，x)． A1P⊥平面PBD，∴A1P·BP＝0，即(－1,1，x－λ)·(－1,0，...
