考点测试48立体几何中的向量方法高考概览本考点是高考必考知识点，题型为解答题，分值为12分，中等难度考纲研读1.理解直线的方向向量与平面的法向量2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用5．能用向量法解决空间的距离问题一、基础小题1．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，平面α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为()A．B．C．D．答案C解析线面角的范围是.因为〈a，n〉＝π，所以l与平面α的法向量所在直线所成角为，所以l与α所成的角为.故选C.2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是()A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直答案C解析建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，NO＝(－1,0，－2)，AM＝(－2,0,1)，NO·AM＝0，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．3．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A．B．C．D．答案A解析不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.故O(0,0,0)，B(0，0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，所以BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)，所以cos〈BC1，AB1〉＝＝＝.所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.故选A.4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为()A．B．C．D．答案A解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2a，则D(0,0,0)，D1(0,0,2a)，B1(2a,2a,2a)，M(a，a,0)，N(a,0,0)，故ND1＝(－a,0,2a)，B1M＝(－a,－a，－2a)，所以|ND1|＝a，|B1M|＝a.ND1·B1M＝－3a2，则cos〈ND1，B1M〉＝＝－，故选A.5．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C－BF－D的正切值为()A.B．C.D．答案D解析连接BD交AC于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0,0,0)，B，F，C.易知OC＝为平面BDF的一个法向量．由BC＝，FB＝，可求得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)，所以cos〈n，OC〉＝，由题图知二面角C－BF－D的平面角为锐角，所以sin〈n，OC〉＝，所以tan〈n，OC〉＝.故选D.6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，则直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为()A．B．C．D．答案C解析以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则E(2，1,0)，F(1,0,2)，EF＝(－1，－1,2)，平面AA1D1D的一个法向量n＝(0,1,0)，设直线EF与平面AA1D1D所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.∴直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为.故选C.二、高考小题7．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A．B．C．D．答案C解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴的正方向，y轴的正方向，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1，0,0)，B1(1,1，)，D1(0,0，)，所以AD1＝(－1,0，)，DB1＝(1,1，)，因为cos〈AD1，DB1〉＝＝＝，所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.8．(经典江西高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝11，AD＝7，AA1＝12.一质点从顶点A射向点E(4,3,12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i－1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i＝2,3,4)，L1＝AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是()答案C解析由对称性知质点经点E反射到平面ABCD的点E1(8,6,0)处．在坐标平面xAy中，直线AE1的方程为y＝x，与直线DC的方程y＝7联立得F.由两点间的距离公式得E1F＝， tan∠E2E1F＝tan∠EAE1＝，∴E2F＝E1F·tan∠E2E1F＝4.∴E2F1＝12－4＝8.∴＝＝＝＝.故选C.9．(20...
