考点测试52椭圆一、基础小题1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案A解析依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析2x2＋3y2＝m(m>0)⇒＋＝1，∴c2＝－＝.∴e2＝，∴e＝.故选B.3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于()A.B．2C．4D.答案D解析由x2＋＝1及题意知，2＝2×2×1，m＝，故选D.4．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且MF1·MF2＝0，则点M到y轴的距离为()A.B.C.D.答案B解析设M(x，y)，由MF1·MF2＝0，得x2＋y2＝c2＝3，又＋y2＝1，解得x＝±.5．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．6．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.B.C.D.答案C解析令c＝.如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F1F2P＝120°，∴∠PF2x＝60°，∴|F2P|＝2＝3a－2c. |F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c，∴3a＝4c，∴＝，即椭圆的离心率为.故选C.7．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|PF1＋PF2|的最小值是()A．0B．1C．2D．2答案C解析设P(x0，y0)，则PF1＝(－1－x0，－y0)，PF2＝(1－x0，－y0)，∴PF1＋PF2＝(－2x0，－2y0)，∴|PF1＋PF2|＝＝2＝2. 点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，|PF1＋PF2|取最小值2.故选C.8．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是________．答案解析设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝4.又r＋r－2r1r2cos60°＝|F1F2|2，(r1＋r2)2－3r1r2＝12，∴r1r2＝，S＝r1r2sin60°＝.二、高考小题9．[2016·全国卷Ⅲ]已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B.C.D.答案A解析由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y＝k(x＋a)，当x＝－c时，y＝k(a－c)，当x＝0时，y＝ka，所以M(－c，k(a－c))，E(0，ka)．如图，设OE的中点为N，则N，由于B，M，N三点共线，所以kBN＝kBM，即＝，所以＝，即a＝3c，所以e＝.故选A.10.[2016·江苏高考]如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案解析由已知条件易得B，C，F(c,0)，∴BF＝，CF＝，由∠BFC＝90°，可得BF·CF＝0，所以＋2＝0，c2－a2＋b2＝0，即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，所以＝，则e＝＝.11．[2014·安徽高考]设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(00)．又 |AF1|＝3|F1B|，∴由AF1＝3F1B，得B，代入x2＋＝1，得＋＝1，又c2＝1－b2，∴b2＝.故椭圆E的方程为x2＋y2＝1.12．[2014·江西高考]过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①＋＝1.②①、②两式相减并整理，得＝－·.把已知条件代入上式，得－＝－×，∴＝，故椭圆的离心率e＝＝.13．[2014·辽宁高考]已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.答案12解析解法一：由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(－，0)，右焦点...
