高考数学专题五第3讲知能演练轻松闯关训练题1．(2012·山东潍坊二模)已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，AC＝4AB.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4，联立，得2y2－(8＋p)y＋8＝0，y1＋y2＝，y1y2＝4，由已知AC＝4AB，∴y2＝4y1，由根与系数的关系及p>0可得y1＝1，y2＝4，p＝2，∴抛物线G的方程为x2＝4y.(2)由题意知直线l的斜率存在，且不为0，设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由，得x2－4kx－16k＝0，由Δ>0得k<－4或k>0，∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，BC中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，∴b＝2(k＋1)2，∴b>2.故b的取值范围是(2，＋∞)．2．(2012·河南八校联考)已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点F1，F2在y轴上，它的一个顶点为A(，0)，且中心O到直线AF1的距离为焦距的，过点M(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，点N在线段PQ上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，求动点N的轨迹方程．解：(1)设椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0)．由于椭圆的一个顶点是A(，0)，故b2＝2.根据题意得，∠AF1O＝，sin∠AF1O＝，即a＝2b，a2＝8，所以椭圆的标准方程是＋＝1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x，y)，由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)．直线l的方程与椭圆方程联立消去y得：(k2＋4)x2－4k2x＋4k2－8＝0.由Δ＝16k4－4(k2＋4)(4k2－8)>0，得－2b>0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围．解：(1)设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c＝1.因为椭圆C的离心率为，所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)当MN⊥x轴时，显然y0＝0.当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．由，消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，又x1＋x2＝，所以x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝.线段MN的垂直平分线的方程为y＋＝－(x－)．在上述方程中，令x＝0，得y0＝＝.当k<0时，＋4k≤－4；当k>0时，＋4k≥4.所以－≤y0<0或0b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，短轴的两端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．(1)求椭圆的方程；(2)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连结CM，交椭圆于点P，证明：OM·OP为定值；(3)在(2)的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，得2b＝2c＝2.∴b＝c＝，a＝2，∴所求椭圆的方程是＋＝1.(2)证明：由(1)知，C(－2,0)，D(2,0)．由题意可设CM：y＝k(x＋2)，P(x1，y1)， MD⊥CD，∴...
