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高考数学 专题五第3讲知能演练轻松闯关训练题VIP免费

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高考数学专题五第3讲知能演练轻松闯关训练题1.(2012·山东潍坊二模)已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B,C两点.当直线l的斜率是时,AC=4AB.(1)求抛物线G的方程;(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.解:(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜率是时,l的方程为y=(x+4),即x=2y-4,联立,得2y2-(8+p)y+8=0,y1+y2=,y1y2=4,由已知AC=4AB,∴y2=4y1,由根与系数的关系及p>0可得y1=1,y2=4,p=2,∴抛物线G的方程为x2=4y.(2)由题意知直线l的斜率存在,且不为0,设l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x0,y0),由,得x2-4kx-16k=0,由Δ>0得k<-4或k>0,∴x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k,BC中垂线方程为y-2k2-4k=-(x-2k),∴b=2(k+1)2,∴b>2.故b的取值范围是(2,+∞).2.(2012·河南八校联考)已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点F1,F2在y轴上,它的一个顶点为A(,0),且中心O到直线AF1的距离为焦距的,过点M(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P,Q,点N在线段PQ上.(1)求椭圆的标准方程;(2)设|PM|·|NQ|=|PN|·|MQ|,求动点N的轨迹方程.解:(1)设椭圆的标准方程是+=1(a>b>0).由于椭圆的一个顶点是A(,0),故b2=2.根据题意得,∠AF1O=,sin∠AF1O=,即a=2b,a2=8,所以椭圆的标准方程是+=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x,y),由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2).直线l的方程与椭圆方程联立消去y得:(k2+4)x2-4k2x+4k2-8=0.由Δ=16k4-4(k2+4)(4k2-8)>0,得-2b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.解:(1)设椭圆C的半焦距是c.依题意,得c=1.因为椭圆C的离心率为,所以a=2c=2,b2=a2-c2=3.故椭圆C的方程为+=1.(2)当MN⊥x轴时,显然y0=0.当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为y=k(x-1)(k≠0).由,消去y并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x3,y3),又x1+x2=,所以x3==,y3=k(x3-1)=.线段MN的垂直平分线的方程为y+=-(x-).在上述方程中,令x=0,得y0==.当k<0时,+4k≤-4;当k>0时,+4k≥4.所以-≤y0<0或0b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,短轴的两端点为A、B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程;(2)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连结CM,交椭圆于点P,证明:OM·OP为定值;(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)由题意,得2b=2c=2.∴b=c=,a=2,∴所求椭圆的方程是+=1.(2)证明:由(1)知,C(-2,0),D(2,0).由题意可设CM:y=k(x+2),P(x1,y1), MD⊥CD,∴...

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