立体几何中的向量方法课时作业1．直线l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，则有()A．l∥αB．l⊥αC．l与α斜交D．l⊂α或l∥α答案B解析因为a＝(1，－3,5)，n＝(－1,3，－5)，所以a＝－n，a∥n.所以l⊥平面α.选B.2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案C解析 cos〈m，n〉＝＝＝，∴〈m，n〉＝45°.∴二面角为45°或135°.故选C.3．(2019·邯郸模拟)如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是上底面A1B1C1D1和侧面ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．135°答案B解析以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F，＝，＝(0,1,0)，∴cos〈，〉＝＝－，∴〈，〉＝135°，∴异面直线EF和CD所成的角是45°.故选B.4．(2019·辽宁沈阳和平区模拟)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝4，则直线BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案A解析如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz.则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,4)，B(2,2,0)，B1(2,2,4)，＝(－2,2，0)，＝(－2,0,4)，＝(0,0,4)．设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝2，则y＝2，z＝1，故n＝(2,2,1)是平面ACD1的一个法向量，设直线BB1与平面ACD1所成的角是θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.故选A.5．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于()A．5B.C．4D．2答案A解析 A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，∴＝(4，－5,0)，＝(0,4，－3)． 点D在直线AC上，∴设＝λ＝(0,4λ，－3λ)，由此可得＝－＝(0,4λ，－3λ)－(4，－5,0)＝(－4,4λ＋5，－3λ)．又⊥，∴·＝－4×0＋(4λ＋5)×4＋(－3λ)×(－3)＝0，解得λ＝－.因此＝(－4,4λ＋5，－3λ)＝.可得||＝＝5.6．(2020·安徽六安一中质检)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为()A.B.C．2D.答案A解析分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，设AD＝a，则点D坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则得令z＝－1，得n＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为m＝(0，1,0)．所以cos60°＝，得＝，解得a＝，故选A.7．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.B.C.D.答案D解析如图建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0，0,0)，B(2,2,0)，∴＝(2,0,0)，＝(2,0,2)，＝(2,2,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.8．已知梯形CEPD如图所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图所示的几何体．已知当点F满足A＝λ(0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为()A.B.C.D.答案C解析因为四边形ABCD为正方形，且平面PABE⊥平面ABCD，所以PA，AB，AD两两垂直，且PA∥BE，建立如图所示的空间直角坐标系，得P(0,0,4)，C(4,4,0)，E(4,0,2)，D(0,4,0)，B(4,0,0)，则F(4λ，0,0)，D＝(4，－4,2)，D＝(4λ，－4,0)，C＝(0，－4,2)，E＝(－4,0,2)，设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)，则由得取m＝(1，λ，2λ－2)，设平面PCE的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则由得取n＝(1,1,2)，因为平面DEF⊥平面PCE，所以m·n＝1＋λ＋2(2λ－2)＝5λ－3＝0，解得λ＝.故选C.9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.答案B解析以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0，1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则即∴∴n1＝(1,2,2)．又平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐...
