热点(五)基本不等式1．(基本不等式)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则xy的最大值是()A.B．4C.D．8答案：C解析：∵2xy≤2＝2＝，∴xy≤，故选C.2．(基本不等式)若正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.＋有最大值4B．ab有最小值C．a2＋b2有最小值D.＋有最大值答案：D解析：对于A，取a＝0.01，b＝0.99，则＋>100>4，故A错误；对于B，取a＝0.01，b＝0.99，则ab＝0.0099<，故B错误；对于C，取a＝b＝0.5，则a2＋b2＝0.5<，故C错误；对于D，因为a＋b＝1≥2，所以ab≤，又因为(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2，所以(＋)2≤2，即＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故选D.3．(基本不等式)若a>0，b>0，且a＋b＝1，则＋的最小值为()A．5B.C．4D.答案：B解析：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)·＝2＋＋＋＝＋＋≥＋2＝，当且仅当a＝2b时等号成立，∴＋的最小值为，故选B.4．(基本不等式)若ab>0，且＋＝1，则a＋b的最小值是()A．4B．7＋4C．8D．7＋8答案：B解析：a＋b＝(a＋b)＝＋＋7≥2＋7＝4＋7，当且仅当b＝2＋4，a＝3＋2时，取“＝”，故选B.5．(基本不等式)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，则＋的最小值为()A．7B．8C．9D．10答案：C解析：依题意得＋＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当a＝b＝时，等号成立．故选C.6．(基本不等式)若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则x＋y的最小值为()A．9B．8C．5D．4答案：A解析：∵x>0，y>0，x＋4y＝xy，∴＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当x＝6，y＝3时，取等号，∴x＋y的最小值为9，故选A.7．(基本不等式)已知0
0)．∵a6＝3，∴a4＝＝，a8＝a6q2＝3q2，∴a4＋a8＝＋3q2≥2＝6，当且仅当＝3q2，即q＝1时，等号成立，故选A.10．(与直线方程结合)已知a>0，b>0，直线ax＋by＝1过点(1,3)，则＋的最小值为()A．4B．3C．2D．1答案：A解析：依题意得a＋3b＝1，因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋3b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝，b＝时取等号，故选A.11．(与三角函数结合)＋的最小值为()A．18B．16C．8D．6答案：B解析：＋＝(sin2α＋cos2α)＝9＋1＋＋≥9＋1＋2＝16，故选B.12．(与数列结合)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2，若存在两项am，an，使得aman＝64，则＋的最小值为()A.B.C.D.答案：B解析：∵Sn＝2an－2，∴Sn－1＝2an－1－2(n≥2)．两式相减，化简可得an＝2an－1(n≥2)，由S1＝2a1－2＝a1可得a1＝2，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．∵aman＝64，∴(a1qm－1)(a1qn－1)＝64，即4×2m＋n－2＝64，∴m＋n＝6，∴＋＝(m＋n)＝≥＝，当且仅当m＝，n＝时，等号成立．∵m，n为正整数，∴上述不等式的等号取不到，则＋>，验证可得，当m＝2，n＝4时，＋取最小值，为，故选B.13．(基本不等式)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，若不等式a≤＋恒成立，则实数a的最大值为________．答案：16解析：∵x>0，y>0，且x＋y＝1，∴＋＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当y＝3x＝时取等号．∵不等式a≤＋恒成立⇔min≥a，∴a∈(－∞，16]，即实数a的最大值为16.14．(基本不等式)已知a，b∈R，且2a－3b＝1，则9a＋的最小值是________．答案：2解析：因为2a－3b＝1，所以9a＋≥2＝2＝2，当且仅当9a＝，即2a＝－3b＝时，取等号，所以9a＋的最小值是2.15．(基本不等式)已知x，y均为正实数，且＝(7＋2)，则x＋3y的最小值为________．答案：2解析：∵＝＋＝(7＋2)，∴x＋3y＝＝.又∵x，y均为正实数，∴＋≥2＝2，当且仅当＝时，取“＝”，∴x＋3y≥＝2.∴x＋3y的最小值为2.16．(与函数结合)已知函数f(x)＝|x－2|－|x－1|，若正数a，b满足a＋2b＝f(－1)，求＋的最小值．答案：8解析：由题意，a＋2b＝f(－1)＝1，所以＋＝(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，所以＋的最小值为8.
