满分示范课——函数与导数函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，再根据题意处理．【典例】(满分12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx－.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．[规范解答](1)f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．因为f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，1)，(1，＋∞)单调递增．因为f(e)＝1－<0，f(e2)＝2－＝>0，所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零点x1(e0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－.若x∈，f′(x)>0，f(x)单调递增；若x∈，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上：当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)证明：由(1)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不满足条件．当a<0时，f(x)的极大值为f＝－ln(－a)，由已知得－ln(－a)＝0，故a＝－1，此时f(x)＝lnx－x＋1.不妨设01)，故g(x)在(1，＋∞)单调递减，所以g(x)
