考查角度3定值、定点问题分类透析一定值问题例1如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),已知点(1,e)和(e,❑√32)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程.(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.①若|AF1|-|BF2|=❑√62,求直线AF1的斜率.②求证:|PF1|+|PF2|是定值.分析(1)运用椭圆的离心率公式和点(1,e),(e,❑√32)满足椭圆方程,以及a,b,c的关系,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程.(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AF1,BF2的方程分别为x+1=my,x-1=my,联立直线与椭圆的方程,求出A,B的坐标,根据两点间的距离公式,求出|AF1|,|BF2|的长,然后由|AF1|-|BF2|=❑√62,解得m的值,即得斜率;②运用平行线截得线段成比例的定理、椭圆的定义与(1)中的结论,即可证明.解析(1)由点(1,e)在椭圆上,得1a2+c2a2b2=1,解得b2=1,于是c2=a2-1.又点(e,❑√32)在椭圆上,所以e2a2+34b2=1,即a2-1a4+34=1,解得a2=2.故所求椭圆的方程为x22+y2=1.(2)①由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),又直线AF1与BF2平行,所以可设直线AF1的方程为x+1=my,直线BF2的方程为x-1=my.设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0,由{x122+y12=1,x1+1=my1得(m2+2)y12-2my1-1=0,解得y1=m+❑√2m2+2m2+2.故|AF1|=❑√(x1+1)2+y12=❑√(my1)2+y12=❑√2(m2+1)+m❑√m2+1m2+2.同理可得|BF2|=❑√2(m2+1)-m❑√m2+1m2+2.由|AF1|-|BF2|=2m❑√m2+1m2+2=❑√62,解得m2=2.因为m>0,所以m=❑√2,所以直线AF1的斜率为1m=❑√22.②因为直线AF1与BF2平行,所以|PB||PF1|=|BF2||AF1|,于是|PB|+|PF1||PF1|=|BF2|+|AF1||AF1|,故|PF1|=|AF1||AF1|+|BF2|·|BF1|.由点B在椭圆上知|BF1|+|BF2|=2❑√2.从而|PF1|=|AF1||AF1|+|BF2|·(2❑√2-|BF2|).同理可得|PF2|=|BF2||AF1|+|BF2|·(2❑√2-|AF1|),因此|PF1|+|PF2|=|AF1||AF1|+|BF2|·(2❑√2-|BF2|)+|BF2||AF1|+|BF2|·(2❑√2-|AF1|)=2❑√2-2|AF1|·|BF2||AF1|+|BF2|.又|AF1|+|BF2|=2❑√2(m2+1)m2+2,|AF1|·|BF2|=m2+1m2+2,所以|PF1|+|PF2|=2❑√2-❑√22=3❑√22.因此|PF1|+|PF2|是定值.方法技巧对于解析几何中的定值问题,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性.用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,这样可将盲目的探索问题转化为有方向,有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.分类透析二定点问题例2已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,椭圆C过点P(1,❑√22),直线PF1交y轴于点Q,且⃗PF2=2⃗QO,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程.(2)设M是椭圆C的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆C于A,B两点,设这两条直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=2,证明:直线AB过定点.分析(1)将点P(1,❑√22)代入椭圆方程,得1a2+12b2=1,由⃗PF2=⃗2QO,得PF2⊥F1F2,则c=1,联立方程得解.(2)分为直线AB的斜率存在和斜率不存在两种情况,当斜率不存在时,直接代入得解;当斜率存在时,联立直线和椭圆的方程得到关于x的方程,结合韦达定理,运用整体代换的思想化简得m(x+1)=y-x,可得其恒过定点.解析(1) 椭圆C过点(1,❑√22),∴1a2+12b2=1.① ⃗PF2=2⃗QO,∴PF2⊥F1F2,则c=1,∴a2-b2=1.②由①②得a2=2,b2=1,∴椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)当直线AB的斜率不存在时,设A(x0,y0),则B(x0,-y0),由k1+k2=2,得y0-1x0+-y0-1x0=2,解得x0=-1.当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx+m(m≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),由{x22+y2=1,y=kx+m,消去y,整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,得x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2, k1+k2=2,∴y1-1x1+y2-1x2=2,∴(kx1+m-1)x2+(kx2+m-1)x1x1x2=2,即(2-2k)x1x2=(m-1)(x2+x1),解得(2-2k)(2m2-2)=(m-1)(-4km).由m≠1,得(1-k)(m+1)=-km解得k=m+1,∴y=kx+m=(m+1)x+m,∴m(x+1)=y-x.故直线AB过定点(-1,-1).方法技巧解析几何中常见的定点问题有直线过定点问题,圆过定点问题.处理此类问题的关键就是设法找到一个含有参数的方程,然后说明该定点和参数无关.1.(2018年全国Ⅰ卷,文20改编)设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当直线l的倾斜角为45°时,求线段...
