课时作业24平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．(2014·宜昌模拟)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b解析：设c＝xa＋yb，则所以故c＝3a－b.答案：B2．(2014·郑州模拟)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A．－B.C.D.解析：AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以AB，AC共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.答案：A3．(2015·大庆模拟)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ等于()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：由a∥b得，(1－sinθ)(1＋sinθ)－1×＝0，解得sinθ＝±.又θ为锐角，所以θ＝45°.答案：B4．(2014·石家庄模拟)已知向量OA＝(1,3)，OB＝(3，－1)，且AP＝2PB，则点P的坐标为()A．(2，－4)B.C.D．(－2,4)解析：设点P的坐标为(x，y)，由AP＝2PB可得(x－1，y－3)＝2(3－x，－1－y)，故有x－1＝6－2x，且y－3＝－2－2y，解得x＝，y＝，故点P的坐标为.答案：C5．(2015·三明模拟)如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝2，|OB|＝，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则()A．λ＝4，μ＝2B．λ＝，μ＝C．λ＝2，μ＝D．λ＝，μ＝1解析：过点C分别作OA，OB的平行线，分别交OB，OA的延长线于B1，A1，则∠B1OC＝120°－30°＝90°，故OB1⊥OC.在Rt△B1OC中，∠B1CO＝30°，又|OC|＝2，故|OB1|＝2×tan30°＝2，|B1C|＝2·|OB1|＝4，因此|OB1|＝|OB|，|OA1|＝|B1C|＝2|OA|，故OC＝OA1＋OB1＝2OA＋OB，因此λ＝2，μ＝.答案：C6．(2015·中山模拟)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1,0)解析：由点D是圆O外一点，可设BD＝λBA(λ＞1)，则OD＝OB＋λBA＝λOA＋(1－λ)OB.又C，O，D三点共线，令OD＝－μOC(μ＞1)，则OC＝－OA－OB(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，且m＋n＝－－＝－∈(－1,0)．答案：D二、填空题7．(2014·临沂模拟)若a与b不共线，已知下列各组向量：①a与－2b；②a＋b与a－b；③a＋b与a＋2b；④a－b与a－b.其中可以作为基底的是__________(只填序号即可)．解析：因为a与b不共线，所以，对于①，显然a与－2b不共线；对于②，假设a＋b与a－b共线，则存在实数λ，使a＋b＝λ(a－b)，则λ＝1且－λ＝1，由此得λ＝1且λ＝－1矛盾，故假设不成立，即a＋b与a－b不共线；同理，对于③，a＋b与a＋2b也不共线；对于④，a－b＝，故a－b与a－b共线．由基向量的定义知，①②③都可以作为基底，④不可以．答案：①②③8．(2015·济南期末)已知两点A(－1,0)，B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若AB∥a，则实数k的值为__________．2解析：因为A(－1,0)，B(1,3)，所以AB＝(2,3)．又因为AB∥a，所以＝，故k＝.答案：9．(2015·南京质检)设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是________．解析：AB＝OB－OA＝(a－1,1)，AC＝OC－OA＝(－b－1,2)． A、B、C三点共线，∴AB∥AC.∴＝.∴2a＋b＝1.∴＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝时取等号．∴＋的最小值是8.答案：8三、解答题10．(2015·郑州月考)如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.(1)用a和b表示向量OC，DC；(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．解析：(1)由题意知，A是BC的中点，且OD＝OB，由平行四边形法则，得OB＋OC＝2OA，所以OC＝2OA－OB＝2a－b，DC＝OC－OD＝(2a－b)－b＝2a－b.(2)由题意知，EC∥DC，故设EC＝xDC.因为EC＝OC－OE＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC＝2a－b，所以(2－λ)a－b＝x.因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得解得故λ＝.11．(2014·陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)．(1)若m＝n＝，求|OP|；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值...
