【大高考】2017版高考数学一轮总复习第8章立体几何初步第7节空间角与距离模拟创新题理一、选择题1.(2016·泰安模拟)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析设l与α所成角为θ， cos〈m，n〉＝－，又直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴sinθ＝.∴θ＝30°.答案A2.(2015·广州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为()A.B.C.D.解析设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，可知CM＝(2，－2，1)，D1N＝(2，2，－1)，cos〈CM，D1N〉＝－，sin〈CM，D1N〉＝.答案B3.(2016·四川成都模拟)在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面BDM的距离是()A.aB.aC.aD.a解析以D为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为a，则A1(a，0，a)，A(a，0，0)，M，B(a，a，0)，D(0，0，0)，设n＝(x，y，z)为平面BMD的法向量.则n·BM＝0，且n·DM＝0，而BM＝，DM＝，所以所以令z＝2，则n＝(－1，1，2)，DA1＝(a，0，a)，则A1到平面BDM的距离是d＝＝a.答案A4.(2014·江西南昌质检)二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于()A.B.C.2D.解析如图， 二面角α－l－β等于120°，∴CA与BD夹角为60°.由题设知，CA⊥AB，AB⊥BD，|AB|＝|AC|＝|BD|＝1，|CD|2＝|CA＋AB＋BD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD＝3＋2×cos60°＝4，∴|CD|＝2.答案C二、填空题5.(2016·江西抚州模拟)已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为________.解析建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则CG＝(0，0，2)，由题意可求得平面GEF的一个法向量为n＝(1，1，3)，所以点C到平面GEF的距离为d＝＝.答案创新导向题几何体中求线段长及二面角问题6.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC＝60°，PA＝AC＝2，AB＝1，点E在棱PC上，且DE⊥PB.(1)求CE的长；(2)求二面角A－PB－C的正弦值.解(1)如图，以A为原点，AB，AC，AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，D.过E作EF⊥AC于F，则EF∥PA，设EF＝h，则E(0，2－h，h).∴DE＝，又PB＝(1，0，－2)，DE⊥PB，∴DE·PB＝－2h＝0，∴h＝，∴CE＝h＝.(2)由(1)得PC＝(0，2，－2)，PB＝(1，0，－2).设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝1，得n＝(2，1，1).易知AC＝(0，2，0)是平面PAB的一个法向量.cos〈n，AC〉＝＝.则二面角A－PB－C的正弦值为sin〈n，AC〉＝.几何体中求点到平面的距离及二面角问题7.如图，三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝，CA＝CB＝，AC⊥BC.(1)求点B到平面PAC的距离；(2)求二面角C－PA－B的余弦值.解取AB中点O，连接OP，CO， CA＝CB＝，∠ACB＝90°，∴CO⊥AB，且AB＝2，CO＝1. PA＝PB＝，∴PO⊥AB，且PO＝＝.∴PO2＋OC2＝3＝PC2，∴∠POC＝90°，即PO⊥OC.∴OA，OC，OP两两垂直.如图所示，分别以OA，OC，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(1，0，0)，B(－1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，).(1)设平面PAC的一个法向量为n＝(x，y，1)，则 AC＝(－1，1，0)，PA＝(1，0，－)，∴，∴x＝y＝，∴n＝(，，1). AB＝(－2，0，0)，∴点B到平面PAC的距离为d＝＝＝.(2)OC＝(0，1，0)是平面PAB的一个法向量，cos〈n，OC〉＝＝.综合图形可见，二面角C－PA－B的大小为锐角，∴二面角C－PA－B的余弦值为.专项提升测试模拟精选题一、选择题8.(2015·宁夏银川调研考试)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析法一取A1C1的中点E，连接AE、B1E.由题易知B1E⊥平面ACC1A1，则∠B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角.令正三棱柱侧棱长与底面边长为1，则sin∠B1AE＝＝＝，故选A.法二如上图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E－xyz，设棱长为...
