课下层级训练(二十七)数列的概念与简单表示法[A级基础强化训练]1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于()A．B．cosC．πD．cosπD[令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．]2．现有这么一列数：2，，，，()，，，…，按照规律，()中的数应为()A．B．C．D．B[分母为2n，n∈N，分子为连续的质数，所以()中的数应为.]3．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq＝()A．10B．15C．－5D．20D[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20.]4．(2019·福建福州质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2019＝()A．1B．0C．2019D．－2019A[ a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2019＝a1＝1.]5．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，则a13＝()A．143B．156C．168D．195C[由an＋1＝an＋2＋1得an＋1＋1＝(＋1)2，所以－＝1，又a1＝0，则＝n，an＝n2－1，则a13＝132－1＝168.]6．若数列{an}满足关系an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝__________.[借助递推关系，由a8递推依次得到a7＝，a6＝，a5＝.]7．已知数列{an}的前n项和Sn＝3－3×2n，n∈N*，则an＝__________.－3×2n－1[分情况讨论：①当n＝1时，a1＝S1＝3－3×21＝－3；②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3－3×2n)－(3－3×2n－1)＝－3×2n－1.综合①②，得an＝－3×2n－1.]8．(2019·黑龙江大庆模拟)已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·n，则数列{an}的项取最大值时，n＝__________.4或5[假设第n项为最大项，则即解得即4≤n≤5，又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.]9．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．解(1)由n2－5n＋4<0，解得1an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4，整理得：k＞－2n－1，又 对于n∈N*，都有an＋1＞an，∴k大于－2n－1的最大值，所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．解(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.因为a1也适合此等式，所以an＝2n(n∈N*)．(2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.[B级能力提升训练]11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则a10＝()A．64B．32C．16D．8B[由an＋1·an＝2n，所以an＋2·an＋1＝2n＋1，故＝2，又a1＝1，可得a2＝2，故a10＝25＝32.]12．定义：称为n个正数P1，P2，…，Pn的“均倒数”．若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－1B．an＝4n－1C．an＝4n－3D．an＝4n－5C[ ＝，∴＝2n－1，∴a1＋a2＋…＋an＝(2n－1)n，a1＋a2＋…＋an－1＝(2n－3)(n－1)(n≥2)，当n≥2时，an＝(2n－1)n－(2n－3)(n－1)＝4n－3；a1＝1也适合此等式，∴an＝4n－3.]13．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝__________.28[依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.]14．(2019·山西太原模拟)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝________.(n∈N*)[因为数列{an}是首项为1的正项数列，所以an·an＋1≠0，所以－＋1＝0.令＝t(t>0)...
