组合增分练5解答题组合练A1.(2017河北保定二模,理17)已知数列{an}是等差数列,且a1,a2(a1
cn-1,当n≥4时,cn=,∴由图知二面角A-BE-C的平面角的余弦值为-.4.(2017吉林三模,理19)已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=BC=1,AB=2,M为PC中点.(1)在图中作出平面ADM与PB的交点N,并指出点N所在位置(不要求给出理由).(2)在线段CD上是否存在一点E,使得直线AE与平面ADM所成角的正弦值为,若存在,请说明点E的位置;若不存在,请说明理由.(3)求二面角A-MD-C的余弦值.解(1)过M作MN∥BC,交PB于点N,连接AN,如图,则点N为平面ADM与PB的交点(在图中画出).由M为PC中点,得N为PB的中点.(2)因为在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,以A为坐标原点,以直线AB,AD,AP所在直线建立空间直角坐标系如图所示.则A(0,0,0),P(0,0,1),D(0,1,0),C(2,1,0),M.设在线段CD上存在一点E(x,1,0),则=(x,1,0),设直线AE与平面AMD所成角为θ,平面AMD的法向量为u=(x,y,z),则u⊥,u⊥,即令z=2,则u=(-1,0,2).因为直线AE与平面ADM所成角的正弦值为,所以sinθ=,所以x=1.所以在线段CD上存在中点E,使得直线AE与平面AMD所成角的正弦值为.(3)设平面CMD的法向量v=(x',y',z'),则v⊥,v⊥,即令z'=-1,则y'=-1,所以v=(0,-1,-1).所以cosφ==-,由图形知二面角A-MD-C的平面角是钝角,所以二面角A-MD-C的平面角的余弦值为-.5.设λ>0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x2上运动,点Q满足=λ,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足=λ,求点P的轨迹方程.解由=λ知Q、M、P三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则x2-y0=λ(y-x2),即y0=(1+λ)x2-λy,①再设B(x1,y1),由=λ,即(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0),解得②将①式代入②式,消去y0,得③又点B在抛物线y=x2上,所以y1=.再将③式代入y1=,得(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=((1+λ)x-λ)2,(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2,2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0.因λ>0,两边同除以λ(1+λ),得2x-y-1=0.故所求点P的轨迹方程为y=2x-1.导学号〚16804245〛6.已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.(1)求点M到抛物线C1的准线的距离;(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点,若过M,P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程.解(1)由题意可知,抛物线的准线方程为:y=-,所以圆心M(0,4)到准线的距离是.(2)设P(x0,),A(x1,),B(x2,),由题意得x0≠0,x0≠±1,x1≠x2.设过点P的圆C2的切线方程为y-=k(x-x0),即y=kx-kx0+.①则=1,即(-1)k2+2x0(4-)k+(-4)2-1=0.设PA,PB的斜率为k1,k2(k1≠k2),则k1,k2是上述方程的两根,所以k1+k2=,k1k2=.将①代入y=x2,得x2-kx+kx0-=0,由于x0是此方程的根,故x1=k1-x0,x2=k2-x0,所以kAB==x1+x2=k1+k2-2x0=-2x0,kMP=.由MP⊥AB,得kAB·kMP==-1,解得,即点P的坐标为,所以直线l的方程为y=±x+4.
