专题突破练17空间中的平行、垂直与空间角1.(2020海南海南中学月考,18)已知直四棱柱ABCD-A'B'C'D',四边形ABCD为正方形,AA'=2AB=2,E为棱CC'的中点.(1)求三棱锥C-A'BD的体积;(2)求证:A'E⊥BD;(3)求异面直线DE与A'B所成角的余弦值.2.(2020海南海口模拟,19)如图,在三棱锥D-ABC中,AB⊥AC,△ABD是正三角形,且平面ABD⊥平面ABC,AB=AC=4,E,G分别为AB,BC的中点.(1)证明:EG⊥平面ABD;(2)若F是线段DE的中点,求AC与平面FGC所成角的正弦值.3.(2020山东潍坊三模,18)如图,点C是以AB为直径的圆上的动点(异于A,B),已知AB=2,AE=❑√7,EB⊥平面ABC,四边形BEDC为平行四边形.(1)求证:BC⊥平面ACD;(2)当三棱锥A-BCE的体积最大时,求平面ADE与平面ABC所成的二面角的余弦值.4.(2020山东日照二模,19)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN⊥平面PCD;(2)若直线PB与平面ABCD所成角的余弦值为2❑√55,求二面角N-DM-C的余弦值.5.(2020山东青岛一模,19)在如图所示的四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,△BCE为边长为2的等边三角形,AB=AE,F,O分别为AB,BE的中点,OF是异面直线AB和OC的公垂线.(1)证明:平面ABE⊥平面BCE;(2)记△CED的重心为G,求直线AG与平面ABCD所成角的正弦值.6.(2020天津,17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.(1)求证:C1M⊥B1D;(2)求二面角B-B1E-D的正弦值;(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.7.(2020山东潍坊一中月考,19)在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为长方形,SB⊥底面ABCD,其中BS=2,BA=2,BC=λ,λ的可能取值为①λ=14,②λ=12,③λ=❑√32,④λ=32,⑤λ=3.(1)求直线AS与平面ABCD所成角的正弦值;(2)若在线段CD上能找到点E,满足AE⊥SE,则λ可能的取值有几种情况?请说明理由;(3)在(2)的条件下,当λ为所有可能情况的最大值时,线段CD上满足AE⊥SE的点有两个,分别记为E1,E2,求二面角E1-SB-E2的大小.专题突破练17空间中的平行、垂直与空间角1.(1)解 四棱柱ABCD-A'B'C'D'为直四棱柱,∴A'A⊥平面ABCD,又A'A=2,BC=CD=1,∴VC-A'BD=VA'-BCD=13S△BCD·A'A=13×12×1×1×2=13.(2)证明以D为原点,DA,DC,DD'所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),E(0,1,1),A'(1,0,2),∴⃗A'E=(-1,1,-1),⃗DB=(1,1,0),∴⃗A'E·⃗DB=-1+1=0,∴A'E⊥BD.(3)解由(2)得,⃗DE=(0,1,1),⃗A'B=(0,1,-2),∴|cos<⃗DE,⃗A'B>|=|⃗DE·⃗A'B||⃗DE|·|⃗A'B|=1❑√2×❑√5=❑√1010,即异面直线DE与A'B所成角的余弦值为❑√1010.2.(1)证明因为E,G分别为AB,BC的中点,所以EG∥AC.因为AB⊥AC,平面ABD⊥平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,所以AC⊥平面ABD,所以EG⊥平面ABD.(2)解因为△ABD是正三角形,所以DE⊥AB.由(1)知EG⊥平面ABD,所以EG,AB,DE两两垂直,则以E为坐标原点,分别以⃗EB,⃗EG,⃗ED的方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.因为AB=AC=4,△ABD是正三角形,所以E(0,0,0),A(-2,0,0),B(2,0,0),G(0,2,0),D(0,0,2❑√3),C(-2,4,0).因为F是DE的中点,所以F(0,0,❑√3).⃗AC=(0,4,0),⃗FG=(0,2,-❑√3),⃗GC=(-2,2,0).设平面FGC的法向量为m=(x,y,z),所以{m·⃗FG=0,m·⃗GC=0,即{2y-❑√3z=0,-2x+2y=0,令x=1,则y=1,z=2❑√33,所以平面FGC的一个法向量m=1,1,2❑√33.设AC与平面FGC所成的角为θ,则sinθ=|cos|=|m·⃗AC||m||⃗AC|=44×❑√1+1+43=❑√3010.3.(1)证明因为四边形BEDC为平行四边形,所以CD∥BE.因为EB⊥平面ABC,所以CD⊥平面ABC,所以CD⊥BC.因为∠ACB是以AB为直径的圆上的圆周角,所以BC⊥AC.又因为AC∩CD=C,所以BC⊥平面ACD.(2)解在△ABC中,设AC=x,BC=❑√4-x2(0
