【高考领航】2017届高考数学大一轮复习演练经典习题2理北师大版1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝，m·n＝－1.(1)求cosA的值；(2)若a＝2，b＝2，求c的值．解：(1)因为m＝，n＝，m·n＝－1，所以m·n＝2coscos＋sin×＝2＝2cosA，所以cosA＝－.(2)由(1)，知cosA＝－，且0＜A＜π，所以A＝.又a＝2，b＝2，由正弦定理，得＝，即＝，所以sinB＝，因为0＜B＜π，b＜a，所以B＝.所以C＝π－A－B＝，所以c＝b＝2.2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上的一个最低点为M.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的值域．解：(1)由最低点为M，得A＝2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，得＝，即T＝π，所以ω＝＝＝2.由点M在图像上，得2sin＝－2，即sin＝－1.故＋φ＝2kπ－，k∈Z，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，所以φ＝.故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.(2)因为x∈，所以2x＋∈.当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1.故函数f(x)的值域为[－1,2]．3．已知函数f(x)＝2sinωxcosωx－2cos2ωx(x∈R，ω＞0)，相邻两条对称轴之间的距离等于.(1)求f的值；(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x值．解：(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx－1＝sin－1，因为＝，所以T＝＝π，解得ω＝1.即f(x)＝sin－1.所以f＝sin－1＝0.(2)由(1)，知f(x)＝sin－1，令t＝2x－，由x∈，可得t∈，因为函数y＝sint在区间上单调递增，在上单调递减，故函数y＝sint在上的最大值为sin＝1；而sin＝－，sin＝，所以函数y＝sint在上的最小值为－.所以当t＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，最大值为－1；当t＝－，即x＝0时，函数f(x)取得最小值，最小值为×－1＝－2.4．(2016·上海静安一模)已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b＋.(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．解：(1)f(x)＝sinxcosx－cos2x＋＝sin2x－(cos2x＋1)＋＝sin2x－cos2x＝sin，∴f(x)的最小正周期为π.令sin＝0，得2x－＝kπ(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．故所求对称中心的坐标为(k∈Z)．(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，即f(x)的值域为.5．已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图像关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图像经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图像的一条对称轴，可得sin＝±1.所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.所以f(x)的最小正周期是.(2)由y＝f(x)的图像过点，得f＝0，即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－.故f(x)＝2sin－，由0≤x≤，有－≤x－≤，所以－≤sin≤1，得－1－≤2sin－≤2－，故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．
