配餐作业(三十一)数列的概念与简单表示法(时间：40分钟)一、选择题1．已知数列ln3，ln7，ln11，ln15，…，则2ln5＋ln3是该数列的()A．第16项B．第17项C．第18项D．第19项解析由数列3,7,11,15，…，可知此数列的通项公式an＝3＋4(n－1)＝4n－1。令2ln5＋ln3＝ln(4n－1)，则75＝4n－1，解得n＝19，所以2ln5＋ln3是该数列的第19项，故选D。答案D2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－1，则a3＝()A．－10B．6C．10D．14解析a3＝S3－S2＝2×32－1－(2×22－1)＝10。故选C。答案C3．(2016·大连模拟)对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2,3，…)”是“{an}为递增数列”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析当an＋1>|an|(n＝1,2，…)时，因为|an|≥an，所以an＋1>an，所以{an}为递增数列。当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2>|a1|不成立，即an＋1>|an|(n＝1,2，…)不一定成立。故综上知，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件。故选B。答案B4．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()A．2n－1B.n－1C．n2D．n解析解法一：由已知整理，得(n＋1)an＝nan＋1，∴＝。∴数列是常数列，且＝＝1。∴an＝n。故选D。解法二：(累乘法)：n≥2时，＝，＝，＝，＝，以上各式两边分别相乘，得＝n。又 a1＝1，∴an＝n，故选D。答案D5．(2017·石家庄模拟)已知数列{an}满足：a1＝，对于任意n∈N*，an＋1＝an(1－an)，则a2017－a2016＝()A．－B.C．－D.解析a1＝，a2＝××＝，a3＝××＝，a4＝××＝，…，归纳可知，当n为大于1的奇数时，an＝；当n为正偶数时，an＝，故a2017－a2016＝－＝。故选D。答案D6．(2016·天津模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝－，且满足Sn＋＋2＝an(n≥2)，则S2016等于()A．－B．－C．－D．－解析因Sn＋＋2＝an＝Sn－Sn－1(n≥2)⇒Sn－1＋＝－2(n≥2)，由已知可得，S1＋＝－2⇒S2＝－，S2＋＝－2⇒S3＝－，S3＋＝－2⇒S4＝－，…可归纳出S2016＝－。故选D。答案D二、填空题7．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝__________。解析将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝。答案8．数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝__________。解析a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，把n换成n－1得，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，两式相减得an＝3n。答案3n9．(2017·沈阳模拟)如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第(n)个图案中需用黑色瓷砖________块。(用含n的代数式表示)解析第(1)，(2)，(3)…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12；24－8＝16；35－15＝20；…由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为：12＋(n－1)×4＝4n＋8。答案4n＋8三、解答题10．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)。(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式。解析(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，an>0，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；同理，a3＝3，a4＝4。(2)Sn＝a＋an，①当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0。由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}是以首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n。答案(1)a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4(2)an＝n11．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)。(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6恒成立，求a的取值范围。解析(1) an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又 a＝－7，∴an＝1＋。结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)。∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0。(2)an＝1＋＝1＋。 对任意的n∈N*，都有an≤a6恒成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，知5＜＜6，∴－1...
