重组十二大题冲关——立体几何的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．[2017·安徽皖江联考](本小题满分15分)如图1，已知矩形ABCD中，点E是边BC上的点，DE与AC相交于点H，且CE＝1，AB＝，BC＝3，现将△ACD沿AC折起，如图2，点D的位置记为D′，此时ED′＝.(1)求证：D′H⊥AE；(2)求三棱锥B－AED′的体积．解(1)证明：在矩形ABCD中， CE＝1，AB＝，BC＝3，∴tan∠EDC＝＝，tan∠ACB＝＝，∴∠EDC＝∠ACB. ∠DCA＋∠ACB＝，∴∠EDC＋∠DCA＝，∴∠DHC＝，∴AC⊥DE，∴D′H⊥AC.(4分)又△CHE∽△AHD，且CE∶AD＝1∶3，∴D′H＝DH＝DE＝，HE＝DE＝.(7分) ED′＝，∴D′H2＋HE2＝D′E2，∴D′H⊥HE. 直线AC与HE是平面ABC内的两条相交直线，∴D′H⊥平面ABC，又AE⊂平面ABC，∴D′H⊥AE.(10分)(2)由(1)知D′H⊥平面ABC，又VB－AED′＝VD′－ABE，VD′－ABE＝S△ABE×D′H＝××2××＝，∴VB－AED′＝.(15分)2．[2017·南昌检测](本小题满分15分)已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD＝120°，PA＝b.(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)设AC与BD交于点O，M为OC的中点，若点M到平面POD的距离为b，求a∶b的值．解(1)证明：(2)因为VM－POD＝VP－OMD，在Rt△OMD中，有S△OMD＝×a×a＝a2.(8分)在Rt△POD中，有OD＝a，PO＝⇒S△POD＝×a×.(11分)所以××b＝×a2×b⇒3a2＝4b2，(13分)即a∶b＝2∶.(15分)3．[2017·沈阳质检](本小题满分20分)如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠ABC＝60°.PA⊥平面ABCD，且PA＝3.E为PD的中点，F在棱PA上，且AF＝1.(1)求证：CE∥平面BDF；(2)求点P到平面BDF的距离．解(1)证明：如图所示，取PF的中点G，连接EG，CG.连接AC交BD于O，连接FO.由题可得F为AG的中点，O为AC的中点，∴FO∥GC， FO⊄平面GEC，GC⊂平面GEC，∴FO∥平面GEC.又G为PF的中点，E为PD的中点，∴GE∥FD. FD⊄平面GEC，GE⊂平面GEC，∴FD∥平面GEC，又 FO∩FD＝F，∴平面GEC∥平面BDF. CE⊂平面GEC，∴CE∥平面BDF.(9分)(2) PA⊥平面ABCD，∴PA是三棱锥P－ABD的高，又S△ABD＝×3×3×＝，∴VP－ABD＝×S△ABD×PA＝，同理VF－ABD＝×S△ABD×FA＝，∴VP－BDF＝VP－ABD－VF－ABD＝. S△BDF＝×BD×＝×3×＝，(16分)设点P到平面BDF的距离为h，则VP－BDF＝S△BDFh＝，∴×h＝，解得h＝，即点P到平面BDF的距离为.(20分)4．[2017·石家庄二中调研](本小题满分20分)如图所示，四棱锥P－ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，O为AC，BD的交点，且PO⊥平面ABCD，PO＝，点M为侧棱PD上一点，且满足PD⊥平面ACM.(1)若在棱PD上存在一点N，且BN∥平面AMC，确定点N的位置，并说明理由；(2)求点B到平面MCD的距离．解(1)当点N为PM的中点时，BN∥平面AMC.理由如下：△ACD中可得OD＝，OC＝1， PO⊥面ABCD，∴PO⊥OC，PO⊥OD.Rt△POC中，PO＝，OC＝1，∴PC＝，同理可得，PD＝3.△PCD中，由余弦定理可得cos∠CDP＝，∴∠CDP＝，Rt△CDM中，DM＝1，∴M为边PD的三等分点．(6分) N为PM的中点，且M为边PD的三等分点，∴MO为△BND的中位线，∴MO∥BN，MO⊂面AMC，BN⊄面AMC，∴BN∥面AMC.(10分)(2) PO⊥面ABCD，M为边PD的三等分点，∴M到平面ABCD的距离＝＝，(14分)S△BCD＝，VM－BCD＝××＝＝VB－MCD.(18分)又 S△MCD＝CM×DM＝，∴B到面MCD的距离为.(20分)5．[2017·河北百校联盟联考](本小题满分20分)在如图所示的三棱锥ABC－A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．(1)求证：DE∥平面ACC1A1；(2)若△ABC为正三角形，且AB＝AA1，M为AB上的一点，AM＝AB，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．解(1)证明：取AB的中点F，连接DF，EF，(2分)在△ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，所以DF∥AC，DF⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，所以DF∥平面ACC1A1.(4分)在矩形ABB1A1中，因为E，F分别为A1B1，AB的中点，所以EF∥AA1，EF⊄平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以EF∥平面ACC1A1.(6分)因为DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面ACC1A1.(8分)因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面ACC1A1.(10分)(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直...
