重组十四大题冲关——圆锥曲线的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．[2017·成都月考](本小题满分15分)已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)直线l经过F2，与抛物线y2＝4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点，当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|.解(1)由题意得F1(－1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中长轴长2a＝4，得到a＝2，焦距2c＝2，则短半轴长b＝，则轨迹C的方程为＋＝1.(6分)(2)当直线l与x轴垂直时，可取B1，B2，又F1(－1,0)，此时B1F1·B2F1≠0，所以以B1B2为直径的圆不经过F1，不满足条件．(8分)当直线l不与x轴垂直时，设l：y＝k(x－1)，由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以B1F1·B2F1＝0，又F1(－1,0)，所以(－1－x1)(－1－x2)＋y1y2＝0，即(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2＝0，解得k2＝，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，因为直线l与抛物线有两个交点，所以k≠0.设A1(x3，y3)，A2(x4，y4)，则x3＋x4＝＝2＋，x3x4＝1，所以|A1A2|＝x3＋x4＋p＝2＋＋2＝.(15分)2．[2017·东北三省四市统考](本小题满分15分)椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的长轴长等于圆C2：x2＋y2＝4的直径，且C1的离心率等于.直线l1和l2是过点M(1,0)，且互相垂直的两条直线，l1交C1于A，B两点，l2交C2于C，D两点．(1)求C1的标准方程；(2)当四边形ACBD的面积为时，求直线l1的斜率k(k>0)．解(1)由题意得2a＝4，∴a＝2.(1分) ＝，∴c＝1，(3分)∴b＝，(4分)∴椭圆C1的标准方程为＋＝1.(5分)(2)直线AB：y＝k(x－1)，则直线CD：y＝－(x－1)，由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.(7分)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则(8分)∴|AB|＝|x1－x2|＝.(10分) 圆心(0,0)到直线CD：x＋ky－1＝0的距离d＝，又＋d2＝4，∴|CD|＝2，(12分) AB⊥CD，∴S四边形ACBD＝|AB|·|CD|＝，(13分)由＝，解得k＝1或k＝－1，(14分)由k>0，得k＝1.(15分)3．[2016·全国卷Ⅰ](本小题满分20分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．解(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.(2分)所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.(4分)又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.(6分)由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．(8分)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，(10分)则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝|x1－x2|＝.(12分)过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，A到m的距离为，所以|PQ|＝2＝4.(14分)故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12.(15分)可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．(17分)当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.(19分)综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．(20分)4．[2017·广州统测](本小题满分20分)已知动圆P的圆心为点P，圆P过点F(1,0)且与直线l：x＝－1相切．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若圆P与圆F：(x－1)2＋y2＝1相交于M，N两点，求|MN|的取值范围．解(1)依题意，点P到点F(1,0)的距离等于点P到直线l的距离，(2分)∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l：x＝－1为准线的抛物线，(4分)∴曲线C的方程为y2＝4x.(6分)(2)设点P(x0，y0)，则圆P的半径r＝|x0＋1|.(7分)∴圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0＋1)2.①...
