限时速解训练七导数及其应用(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．设函数f(x)＝－alnx，若f′(2)＝3，则实数a的值为()A．4B．－4C．2D．－2解析：选B.f′(x)＝－，故f′(2)＝－＝3，因此a＝－4.2．曲线y＝ex在点A处的切线与直线x－y＋3＝0平行，则点A的坐标为()A．(－1，e－1)B．(0,1)C．(1，e)D．(0,2)解析：选B.设A(x0，ex0)，y′＝ex，∴y′|x＝x0＝ex0.由导数的几何意义可知切线的斜率k＝ex0.由切线与直线x－y＋3＝0平行可得切线的斜率k＝1.∴ex0＝1，∴x0＝0，∴A(0,1)．故选B.3．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为()A.B.C.∪D.∪解析：选D.若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两根，故Δ＝(－4c)2－12＞0，从而c＞或c＜－.4．已知f(x)＝alnx＋x2(a＞0)，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有≥2恒成立，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0,1)D．(0,1]解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f′(x)＝＋x≥2.可得x＝时，f′(x)有最小值2.∴a≥1.5．已知x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为()A．15B．16C．17D．18解析：选D.x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，即x＝2是f′(x)＝3x2－3a＝0的根，将x＝2代入得a＝4，所以函数解析式为f(x)＝x3－12x＋2，令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x＝－2时函数f(x)取得极大值f(－2)＝18，故选D.6．若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为()A．(－∞，0)B．(－∞，－2)C．(－2，－1)D．(－2,0)解析：选D.设幂函数f(x)＝xα，因为图象过点，所以＝α，α＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)＜0，得－2＜x＜0，故函数单调减区间为(－2,0)故选D.7．若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[1,2)C.D.解析：选C.f′(x)＝4x－＝， x＞0，由f′(x)＝0得x＝.∴令f′(x)＞0，得x＞；令f′(x)＜0，得0＜x＜.由题意得⇒1≤k＜.故C正确．8．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间内单调递增；②函数y＝f(x)在区间内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．则上述判断中正确的是()A．①②B．②③C．③④⑤D．③解析：选D.当x∈(－3，－2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，①错；当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(2,3)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，②错；当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值，④错；当x＝－时，函数y＝f(x)无极值，⑤错．故选D.9．函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1,2)C．(－1,3]D．(－1,2]解析：选D.由题知f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＞0，解得－1＜x＜1；令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞1，由此得函数在(－∞，－1)上是减函数，在(－1,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，故函数在x＝－1处取到极小值－2，判断知此极小值必是区间(a2－12，a)上的最小值，∴a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜，又当x＝2时，f(2)＝－2，故有a≤2.综上知a∈(－1,2]，故选D.10．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为()A．{x|x>0}B．{x|x<0}C．{x|x<－1，或0＜x＜1}D．{x|x＞1，或x<－1}解析：选A.设h(x)＝exf(x)－ex－1，则不等式exf(x)＞ex＋1的解集就是h(x)＞0的解集．h(0)＝1×2－1－1＝0，h′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex. f(x)＋f′(x)＞1，∴对于任意x∈R，ex[f(x)＋f′(x)]＞ex，∴h′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex＞0，即h(x)在R上单调递增． h(0)＝0，∴当x＜0时，h(x)＜0；当x＞0时，h(x)＞0.∴不等式exf(x)＞ex＋1的解集为{x|x＞0}．11．已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)＜0成立，a＝20.2·f(...
