考查角度3用导数研究函数的零点问题分类透析一确定函数零点或方程根的个数问题例1已知函数f(x)=ex-1,g(x)=❑√x+x,其中e是自然对数的底数,e=2.71828….(1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点.(2)求方程f(x)=g(x)的根的个数,并说明理由.分析(1)先整理出函数关系式,再通过零点存在性定理证明;(2)本问求解的关键是通过构造函数,把方程根的问题转化为函数零点问题来解决.解析(1)由h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-❑√x-x得,h(1)=e-3<0,h(2)=e2-3-❑√2>0,且h(x)在区间(1,2)上是连续的,所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点.(2)由(1)得h(x)=ex-1-❑√x-x,x∈[0,+∞).又h(0)=0,则x=0为h(x)的一个零点,又由(1)知h(x)在(1,2)内有零点,因此h(x)在[0,+∞)上至少有两个零点.因为h'(x)=ex-12x-12-1,记φ(x)=ex-12x-12-1,则φ'(x)=ex+14x-32.当x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,因此φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则φ(x)在(0,+∞)上至多只有一个零点,即h(x)在[0,+∞)上至多有两个零点.所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2.方法技巧利用导数确定函数零点或方程根个数的方法(1)构建函数g(x)(要求g'(x)易求,g'(x)=0可解),转化为确定函数g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象,利用数形结合求解.(2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.分类透析二根据函数的零点或方程根的个数求参数的取值范围例2已知函数f(x)=(2-a)x-2(1+lnx)+a.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(0,12)上无零点,求a的最小值.分析(1)利用导数求单调性的方法求出函数的单调区间;(2)把函数f(x)构造成两个函数进行分析求解.解析(1)当a=1时,f(x)=x-1-2lnx,则f'(x)=1-2x,x∈(0,+∞).由f'(x)>0,得x>2,由f'(x)<0,得012,所以当x∈(0,12)时,f'(x)<0,f(x)是减函数.所以当x∈(0,12)时,f(x)>f(12)=0.故f(x)在(0,12)上无零点.综上,a的最小值为2-4ln2.方法技巧用导数研究函数的零点问题,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决.对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、图象确定其中参数的取值范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.但需注意探求与论证之间的区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在性定理及函数的单调性,准确求出函数的零点个数.1.(2018年浙江卷,22改编)设函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程,并证明:除点A外,曲线y=f(x)都在该切线的下方.(2)若函数h(x)=ex+f(x)在区间(1,3)上有零点,求a的取值范围.解析(1)由题意知f'(x)=1x-a,所以f'(1)=1-a.因为f(1)=-a,所以切线方程为y+a=(1-a)(x-1),即y=(1-a)x-1.设p(x)=f(x)-(1-a)x+1=lnx-x+1,则p'(x)=1-xx.若x>1,则p'(x)<0;若00.所以p(x)max=p(1)=0.所以p(x)≤0,所以f(x)≤(1-a)x-1,当且仅当x=1时,取等号,故除点A外,曲线y=f(x)都在该切线的下方.(2)h(x)=ex+f(x)在区间(1,3)上有零点,即a=ex+lnxx在x∈(1,3)上有实数解.设F(x)=ex+lnxx,则F'(x)=ex(x-1)+1-lnxx2.设g(x)=ex(x-1)+1-lnx,则g'(x)=x(ex-1x2).由函数的单调性和零点存在性定理,得函数y=ex-1x2(x>0)的零点在(0,1)上,且y>0在(1,3)上恒成立,所以g'(x)>0(x∈(1,3)),即g(x)在(1,3)上单调递增,所以g(x)>g(1)=1,则F'(x)>0在(1,3)上恒成立.所以F(x)在(1,3)上单调递增,所以F(x)∈(e,e3+ln33),所以a的取值范围是(e,e3+ln33).2.(2016年北京卷,文20改编)已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f...
