第一讲等差数列、等比数列一、等差数列1．定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．2．通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.3．前n项和公式：Sn＝na1＋＝.4．a、b的等差中项A＝证明{an}为等差数列的方法：(1)用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列；(2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列；(3)通项法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列；(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝.二、等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m、n、p、q、k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)②S2n－1＝(2n－1)an.③n为偶数时，S偶－S奇＝d；n为奇数时，S奇－S偶＝a中．三、等比数列1证明{an}是等比数列的两种常用方法(1)定义法：若＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．四、等比数列的性质1．对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝a.2．通项公式的推广：an＝amqn－m(m，n∈N*)3．公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn；当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列．4．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍是等比数列．等比数列的单调性单调递增a1＞0，q＞1或者a1＜0,0＜q＜1单调递减a1＞0,0＜q＜1或者a1＜0，q＞1常数数列a1≠0，q＝1摆动数列q＜0基础自测1．(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.【解析】当n＝1时，S1＝a1＋，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋－＝(an－an－1)，∴an＝－2an－1，即＝－2，∴{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，∴an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.【答案】(－2)n－12．(2013·广东高考)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.【解析】法一a3＋a8＝2a1＋9d＝10,3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝2×10＝20.法二a3＋a8＝2a3＋5d＝10,3a5＋a7＝4a3＋10d＝2(2a3＋5d)＝2×10＝20.【答案】203．[2014·江苏卷]在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．答案：4[解析]由等比数列的定义可得，a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，即a2q6＝a2q4＋2a2q2.又an＞0，所以q4－q2－2＝0，解得q2＝2，故a6＝a2q4＝1×22＝4.考点一等差、等比数列的基本运算例1、[2014·重庆卷]在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()A．5B．8C．10D．14答案B[解析]由题意，得a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，解得d＝1，所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.2、（2013新课标全国Ⅱ）等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A.B．－C.D．－解析：本题考查等比数列的基本知识，包括等比数列的前n项和及通项公式，属于基础题，考查考生的基本运算能力．由题知q≠1，则S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝，故选C.答案：C跟踪练习1．（2013安徽，5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6B．－4C．－2D．2解析：本题主要考查等差数列的基础知识和基本运算，意在考查考生的运算求解能力．2根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.答案：A2．[2014·福建卷]在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an；(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设{an}的公比为q，依题意得解得因此，an＝3n－1.(2)因为bn＝log3an＝n－1，所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.考点二等差、等比数列的性质例1.(2012·辽宁高...
