第1节简单几何体的直观图、表面积与体积[A级基础巩固]1.(2020·衡水中学月考)如图所示，等腰△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形解析：由题图知，A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴．由斜二测画法知，在△ABC中，AC∥y轴，AB∥x轴，所以AC⊥AB.又A′C′＝A′B′，所以AC＝2AB≠AB，所以△ABC是直角三角形．答案：B2．关于空间几何体的结构特征，下列说法中不正确的是()A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．答案：B3．棱长为2的正方体的内切球的体积为()A．4πB．16πC.D.解析：由正方体的性质可得正方体的内切球的半径R＝×2＝1，所以球的体积V＝πR3＝.答案：C4．三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为，，，则该三棱锥的外接球表面积为()A．4πB．6πC．8πD．10π解析：三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，它的外接球就是其扩充为长方体的外接球，设PA＝a，PB＝b，PC＝c，则ab＝，bc＝，ca＝，解得a＝，b＝1，c＝.故长方体的体对角线的长为＝.所以球的直径是，半径R＝，则球的表面积S＝4πR2＝6π.答案：B5．(2020·西安模拟)如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为()1A．3B.C．1D.解析：由题意可知，AD⊥平面B1DC1，即AD为三棱锥A-B1DC1的高，且AD＝×2＝，易求得S△B1DC1＝×2×＝，所以VA-B1DC1＝××＝1.答案：C6．(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A．8πB．4πC．2πD.π解析：因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，以PA，PB，PC为从同一顶点出发的三条棱补成正方体(如图)．由AB＝2，知正方体的棱长为PA＝PB＝PC＝.则外接球的半径R满足(2R)2＝3×()2＝6，所以R＝.故球O的体积V＝πR3＝π.答案：D7．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与旋转轴所成角的大小是________．解析：设圆锥的母线与旋转轴所成角为θ，由题意得πRl＝2πR2，即l＝2R，所以sinθ＝＝，即θ＝.故母线与旋转轴所成角的大小是.答案：8．(2020·泉州期末)在三棱锥P-ABC中，D，E分别是PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，则＝________．解析：如图所示，设S△ABD＝S1，S△ABP＝S2，点E到平面ABD的距离为h1，点C到平面ABP的2距离为h2，则S2＝2S1，h2＝2h1.因为V1＝S1h1，V2＝S2h2，所以＝＝.答案：9．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图所示，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体-V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.810．圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为15，若圆台的侧面积为420π，求圆台较小底面的半径．解析：设圆台较小底面半径为r，则另一个底面半径为3r，由S＝π(r＋3r)·15＝420π，解得r＝7.所以圆台较小底面的半径为7.[B级能力提升]11．(2020·南阳模拟)如图所示，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半...
