课时作业13变化率与导数、导数的计算[基础达标]一、选择题1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)解析： f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．答案：C2．[2020·河南南阳月考]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f(e)＝()A．eB．－C．－1D．－e解析：由f(x)＝2xf′(e)＋lnx，得f′(x)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝2f′(e)＋，所以f′(e)＝－，故f(x)＝－x＋lnx，所以f(e)＝－1.故选C项．答案：C3．[2020·山西太原模拟]已知函数f(x)＝xlnx＋a的图象在点(1，f(1))处的切线经过原点，则实数a的值为()A．1B．0C.D．－1解析： f(x)＝xlnx＋a，∴f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，f(1)＝a，∴切线方程为y＝x－1＋a，∴0＝0－1＋a，解得a＝1.故选A项．答案：A4．[2020·湖南株洲模拟]设函数y＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处的切线斜率为g(t)，则函数y＝g(t)图象的一部分可以是()解析：由y＝xsinx＋cosx可得y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx．则g(t)＝tcost，g(t)是奇函数，排除选项B，D；当x∈时，y>0，排除选项C.故选A.答案：A5．[2020·广州市高三调研考试]已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为()A．ln2B．1C．1－ln2D．1＋ln2解析：由y＝xlnx知y′＝lnx＋1，设切点为(x0，x0lnx0)，则切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，因为切线y＝kx－2过定点(0，－2)，所以－2－x0lnx0＝(lnx0＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln2，选D.答案：D二、填空题6．[2019·全国卷Ⅰ]曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．解析： y′＝3(x2＋3x＋1)ex，∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝3，∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y＝3x.答案：y＝3x7．[2020·天津十二重点中学联考]已知函数f(x)＝(x2－a)lnx，f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(1)＝－2，则a的值为________．解析： f(x)＝(x2－a)lnx(x>0)，∴f′(x)＝2xlnx＋，∴f′(1)＝1－a＝－2，得a＝3.答案：38．[2020·湖南湘东六校联考]已知曲线f(x)＝ex＋x2，则曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为________．解析：由题意，得f′(x)＝ex＋2x，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0，所以该切线与x，y轴的交点坐标分别为(－1,0)，(0,1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为×1×1＝.答案：三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(2)y＝；(3)y＝.解析：(1)解法一：因为y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，所以y′＝24x3＋9x2－16x－4.解法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.(2)y′＝＝＝.(3) ＝x＋x，∴y′＝′＝(x)′＋′＝x－x.10．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．解析：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3x－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，所以x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，所以经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.[能力挑战]11．[2020·江西南昌模拟]已知f(x)在R上连续可导，f′(x)为其导函数，且f(x)＝ex＋e－x－xf′(1)·(ex－e－x)，则f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝()A．4e2＋4e－2B．4e2－4e－2C．0D．4e2解析：函数f(－x)＝e－x＋ex－(－x)f′(1)·(e－x－ex)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，两边对x求导数，得－f′(－x)＝f′(x)．即f′(－x)＝－f′(x)，则f′(x)是R上的奇函数，则f′(0)＝0，f′(－2)＝－f′(2)，即f′(2)＋f′(－2)＝0，则f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝0.故选C项．答案：C12．[2020·河北保定乐凯中学模...
