高考数学 专题35 立体几何中的探索问题黄金解题模板-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题35立体几何中的探索问题【高考地位】探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．【方法点评】方法一直接法使用情景：立体几何中的探索问题解题模板：第一步首先假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；第二步然后运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决；第三步得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．.例1．【2018河南漯河市高级中学第三次模拟】如图，为圆的直径，点在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面垂直，且.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在了点，使得平面？并说明理由.【变式演练1】如图，三棱柱中，底面为正三角形，底面，且，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.（2） 底面为正三角形,是的中点,∴, 平面,平面,∴. ,∴平面, 平面,∴平面平面.（3）假设在侧棱上存在一点,使三棱锥的体积是.【变式演练2】已知长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如图所示.(1)试问：在折叠的过程中，直线AB与CD能否垂直？若能，求出相应a的值；若不能，请说明理由；(2)求四面体A－BCD体积的最大值.【解析】(2)由于△BCD面积为定值，所以当点A到平面BCD的距离最大，即当平面ABD⊥平面BCD时，该四面体的体积最大，此时，过点A在平面ABD内作AH⊥BD，垂足为H，则有AH⊥平面BCD，AH就是该四面体的高.在△ABD中，AH＝＝，S△BCD＝×3×4＝6，此时VA－BCD＝S△BCD·AH＝，即为该四面体体积的最大值.点睛：翻折问题的解决中要关注翻折过程中的变量与不变量，特别是过程中哪些边和哪些角是不变的。本题中，特别是是已知不变的垂直关系，对本题的垂直证明非常重要。方法二空间向量法使用情景：立体几何中的探索问题解题模板：第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；第二步然后运用空间向量将立体几何问题转化为空间向量问题并进行计算、求解；第三步得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．.例2.【2018河南省漯河市高级中学第三次模拟】如图，四边形和四边形均是直角梯形，二面角是直二面角，.（1）证明：在平面上，一定存在过点的直线与直线平行；（2）求二面角的余弦值.（2）因为平面平面,平面平面,又，所以，所以平面，因为平面，所以，因为,所以，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，由已知得,所以,设平面的法向量为，则，不妨设，则，不妨取平面的一个法向量为，所以，由于二面角为锐角，因此二面角的余弦值为.【变式演练3】如图，在多面体中，四边形为正方形，，，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在点的坐标为,使.因为，且，所以平面.因为平面，所以.因为，是的中点，所以.又，所以平面.考点：空间线面的位置关系及空间向量的有关知识的综合运用．【变式演练4】如图,是边长为3的正方形，，,与平面所成的角为.(1)求二面角的的余弦值;(2)设点是线段上一动点，试确定的位置，使得，并证明你的结论.解：【变式演练4】如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，点、分别为、的中点.（1）求证：平...