第18讲求定积分的方法【知识要点】一、曲边梯形的定义我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形.二、曲边梯形的面积的求法分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限三、定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分.记为：，其中是积分号，是积分上限，是积分下限，是被积函数，是积分变量，是积分区间，是被积式.说明：（1）定积分是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即无限趋近的常数（时）记为，而不是．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：四、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1（定积分的线性性质）；性质2（定积分的线性性质）；性质3（定积分对积分区间的可加性）五、定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.（2）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数.（3）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积.（4）图中阴影部分的面积S=六、微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把记成，即.计算定积分的关键是找到满足的函数.七、公式（1）（2）（3）(4)(5)；(6)（7）（8）八、求定积分的方法(1)代数法：利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.【方法讲评】方法一微积分基本原理求解（代数法）使用情景比较容易找到原函数.解题步骤先利用定积分的性质化简函数，再利用微积分基本原理求解.【例1】定积分的值为____________.【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解.【反馈检测1】．【反馈检测2】若在上可导,,则()A．B．C．D．方法二数形结合利用面积求（几何法）使用情景不容易找到原函数.解题步骤先利用定积分的性质化简函数，再利用微积分基本原理求解.【例2】计算的结果为（）.A．1B．C．D．【解析】先利用定积分的几何意义求：令，即表示单位圆的（如图），即是圆面积，即；所以=.【点评】（1）本题中函数的原函数不是很容易找到，所以先利用定积分的性质化简原式，再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.，即表示单位圆的（如图），不是右半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.【反馈检测3】高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第18讲：求定积分的方法参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】【反馈检测2答案】【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】由于+．其中值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在从1到3部分与轴所围成的图形的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S△ACQ+S扇形ABQ+S△BDQ=又=6，∴．故答案为：．
