高考数学 考点13 利用导数探求参数的范围问题试题解读与变式-人教版高三全册数学试题VIP免费

考点十三：利用导数探求参数的范围问题【考纲要求】（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.【命题规律】利用导数探求参数的范围问题每年必考，有时出现在大题，有时出现在小题中，变化比较多.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．这也是2018年考试的热点问题.【典型高考试题变式】（一）利用单调性求参数的范围例1.【2016全国1卷（文）】若函数在上单调递增，则的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】C【方法技巧归纳】谈到必要条件的问题，如取，则转化为，因此直接选择C选项．这缘于运气好，若不然取，则式子恒成立；取，则，此时只能排除A选项．此外，可在未解题之前取，此时，则，但此时，不具备在上单调递增，直接排除A，B，D.故选C．【变式1】【改编例题中条件，给定函数在给定区间上单调（并未告知单增还是单减），求参数范围】【2018河北大名一中高三实验班第一次月考（理）】若函数在区间上为单调函数,则的取值范围是_______.【答案】或【解析】本题考查导数的运算、函数的性质,考查恒成立问题与转化思想、计算能力.在区间上,,当函数在区间上为单调增函数时,恒成立,则;当函数在区间上为单调减函数时恒成立,则,所以或【变式2】【改编例题中条件，给定函数不单调，求参数取值范围】【2017福建高三总复习训练（文）】已知函数在不单调，则的取值范围是___.【答案】【解析】令得或，则或，解得.【变式3】【改编例题中条件，给定函数存在单调区间，求参数取值范围】【2017河北武邑中学高三下学期期中考试（文）】已知函数，（为常数）.（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；（2）若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；（3）若，，且，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）试题解析:（1）因为，所以，因此，所以函数的图象在点处的切线方程为，由得.由，得.（还可以通过导数来求）（2）因为，所以，由题意知在上有解，因为，设，因为，则只要解得，所以的取值范围是.（3）不妨设，因为函数在区间上是增函数，所以，函数图象的对称轴为，且.当时，函数在区间上是减函数，所以，所以，等价于，即，等价于在区间上是增函数，等价于在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，所以，又，所以.（二）利用极值、最值求参数的取值范围例2.【2014山东卷（理）】设函数（为常数，是自然对数的底数）.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.【答案】（I）的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.【解析】试题分析：（I）函数的定义域为，由可得，得到的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）分，，，时，讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少.试题解析：（I）函数的定义域为，由可得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）由（I）知，时，函数在内单调递减，故在内不存在极值点；当时，设函数，因为，当时，当时，，单调递增，故在内不存在两个极值点；当时，得时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以函数的最小值为，函数在内存在两个极值点；当且仅当，解得，综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.【方法技巧归纳】转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为...